半径1の半球に外接する直円錐を考える。直円錐の底面は半球の底面と同じ平面上にあるとする。直円錐の高さを$h$、底面の半径を$r$、表面積を$S$とするとき、以下の問いに答える。 (1) $S$を$h$の関数で表せ。 (2) $S$の最小値と、そのときの$h$, $r$の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径1の半球に外接する直円錐を考える。直円錐の底面は半球の底面と同じ平面上にあるとする。直円錐の高さを$h$、底面の半径を$r$、表面積を$S$とするとき、以下の問いに答える。

(1) $S$を$h$の関数で表せ。

(2) $S$の最小値と、そのときの$h$, $r$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $S$を$h$の関数で表す。

まず、直円錐の表面積$S$を$r$と$h$で表す。

直円錐の底面積は$\pi r^2$であり、側面積は$\pi r \sqrt{r^2 + h^2}$である。よって、

$$S = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$$

次に、$r$と$h$の関係を求める。半球に内接する円錐を考えると、半球の中心から円錐の側面に下ろした垂線の長さが半球の半径1に等しくなる。

三角形の相似より、

$$\frac{r}{h} = \frac{1}{\sqrt{h^2-1}}$$

これより、

$$r = \frac{h}{\sqrt{h^2-1}}$$

これを$S$の式に代入すると、

$$S = \pi \left( \frac{h}{\sqrt{h^2-1}} \right)^2 + \pi \frac{h}{\sqrt{h^2-1}} \sqrt{\left(\frac{h}{\sqrt{h^2-1}}\right)^2 + h^2}$$

$$S = \pi \frac{h^2}{h^2-1} + \pi \frac{h}{\sqrt{h^2-1}} \sqrt{\frac{h^2 + h^2(h^2-1)}{h^2-1}}$$

$$S = \pi \frac{h^2}{h^2-1} + \pi \frac{h}{\sqrt{h^2-1}} \sqrt{\frac{h^4}{h^2-1}}$$

$$S = \pi \frac{h^2}{h^2-1} + \pi \frac{h}{\sqrt{h^2-1}} \frac{h^2}{\sqrt{h^2-1}}$$

$$S = \pi \frac{h^2}{h^2-1} + \pi \frac{h^3}{h^2-1}$$

$$S = \pi \frac{h^2 + h^3}{h^2-1} = \pi \frac{h^2(h+1)}{(h-1)(h+1)}$$

$$S = \pi \frac{h^2}{h-1}$$

(2) $S$の最小値とそのときの$h$, $r$の値を求める。

$S = \pi \frac{h^2}{h-1}$を最小にする$h$を求める。$h > 1$である。

$$\frac{dS}{dh} = \pi \frac{2h(h-1) - h^2}{(h-1)^2} = \pi \frac{2h^2 - 2h - h^2}{(h-1)^2} = \pi \frac{h^2 - 2h}{(h-1)^2} = \pi \frac{h(h-2)}{(h-1)^2}$$

$\frac{dS}{dh} = 0$となるのは、$h=2$のとき。

$1 < h < 2$のとき$\frac{dS}{dh} < 0$, $h > 2$のとき$\frac{dS}{dh} > 0$なので、$h=2$で$S$は最小値をとる。

$h=2$のとき、

$$S = \pi \frac{2^2}{2-1} = 4\pi$$

$$r = \frac{h}{\sqrt{h^2-1}} = \frac{2}{\sqrt{2^2-1}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

3. 最終的な答え

(1) $S = \pi \frac{h^2}{h-1}$

(2) $S$の最小値は$4\pi$、そのとき$h=2$, $r = \frac{2\sqrt{3}}{3}$