半径1の半球に外接する直円錐がある。直円錐の底面は半球の底面と同じ平面上にあるとする。直円錐の高さを$h$、底面の半径を$r$、表面積を$S$とするとき、以下の問いに答える。 (1) $S$を$h$の関数で表せ。 (2) $S$の最小値とそのときの$h$、$r$の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径1の半球に外接する直円錐がある。直円錐の底面は半球の底面と同じ平面上にあるとする。直円錐の高さを$h$、底面の半径を$r$、表面積を$S$とするとき、以下の問いに答える。

(1) $S$を$h$の関数で表せ。

(2) $S$の最小値とそのときの$h$、$r$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、直円錐の表面積$S$を$r$と$h$で表す。直円錐の表面積は、底面積と側面積の和である。底面積は$\pi r^2$、側面積は$\pi r \sqrt{r^2 + h^2}$なので、

$$S = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$$

次に、$r$を$h$で表す。

半球に外接する直円錐の断面図を考えると、円錐の母線と半球が接する点がある。この点を通り、底面に平行な平面で切断すると、半径1の円と、円錐の相似な断面である円とが接する。

円錐の中心軸から接点までの距離を考えると、円錐の半径$r$、高さ$h$と、半球の半径1を用いて、$r/(h-1) = 1/\sqrt{h^2-1}$の関係が成り立つ（相似）。

よって、$r = \frac{\sqrt{h^2-1}}{h-1}$ となる。

しかし、より簡単な方法がある。円錐の頂点、半球の中心、円錐の底面の円周上の点を結ぶ三角形を考える。これは直角三角形になるので、

$$r^2 + 1^2 = (h-1)^2$$

$$r^2 = (h-1)^2 - 1 = h^2 - 2h$$

$$r = \sqrt{h^2 - 2h}$$

ただし、$h>2$である。

$S$を$h$で表すと、

$$S = \pi (h^2-2h) + \pi \sqrt{h^2-2h} \sqrt{h^2-2h+h^2}$$

$$S = \pi (h^2-2h) + \pi \sqrt{h^2-2h} \sqrt{2h^2-2h}$$

$$S = \pi (h^2-2h) + \pi \sqrt{(h^2-2h)(2h^2-2h)}$$

$$S = \pi (h^2-2h) + \pi \sqrt{2(h^2-2h)(h^2-h)}$$

（別の解き方）

直円錐と半球が外接していることから、$r$と$h$の関係を求める。半球の中心から円錐の側面に下ろした垂線の長さが半球の半径1に等しいことを利用する。円錐の側面は、底面の半径$r$と高さ$h$を用いて$\sqrt{r^2+h^2}$と表される。

$\frac{rh}{\sqrt{r^2+h^2}}=1$

両辺を2乗して整理すると$r^2h^2 = r^2+h^2$となる。

$r^2 = \frac{h^2}{h^2-1}$となり、$r = \frac{h}{\sqrt{h^2-1}}$となる。

表面積Sは

$S = \pi r^2 + \pi r\sqrt{r^2+h^2} = \pi \frac{h^2}{h^2-1} + \pi \frac{h}{\sqrt{h^2-1}}\sqrt{\frac{h^2}{h^2-1} + h^2}$

$= \pi \frac{h^2}{h^2-1} + \pi \frac{h}{\sqrt{h^2-1}}\sqrt{\frac{h^2+h^2(h^2-1)}{h^2-1}}$

$= \pi \frac{h^2}{h^2-1} + \pi \frac{h}{\sqrt{h^2-1}}\frac{h\sqrt{h^2}}{\sqrt{h^2-1}}$

$= \pi \frac{h^2}{h^2-1} + \pi \frac{h^3}{h^2-1}$

$= \pi \frac{h^2+h^3}{h^2-1} = \pi \frac{h^2(h+1)}{(h+1)(h-1)} = \pi \frac{h^2}{h-1}$

(2)

$S = \pi \frac{h^2}{h-1}$の最小値を求める。

$\frac{dS}{dh} = \pi \frac{2h(h-1)-h^2}{(h-1)^2} = \pi \frac{2h^2-2h-h^2}{(h-1)^2} = \pi \frac{h^2-2h}{(h-1)^2} = \pi \frac{h(h-2)}{(h-1)^2}$

$\frac{dS}{dh} = 0$となるのは、$h=2$のときである。$h>1$より$h=2$。

$h=2$のとき、$r=\frac{2}{\sqrt{2^2-1}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$。

$S = \pi \frac{2^2}{2-1} = 4\pi$

3. 最終的な答え

(1) $S = \pi \frac{h^2}{h-1}$

(2) $S$の最小値は$4\pi$、そのときの$h$は2、$r$は$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。