252をある自然数で割ったとき、その商が自然数の2乗になるような自然数を全て求める問題です。

1. 問題の内容

252をある自然数で割ったとき、その商が自然数の2乗になるような自然数を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、252を素因数分解します。

$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$

次に、252をある自然数で割った商が自然数の2乗になることを考えます。

商が自然数の2乗になるということは、商の素因数分解において、全ての素数の指数が偶数になるということです。

252を割る数を $x$ とすると、

$\frac{252}{x} = \frac{2^2 \times 3^2 \times 7}{x} = n^2$ （$n$ は自然数）

$x$ は $2^a \times 3^b \times 7^c$ の形で表されます。（$a, b, c$ は $0$ 以上の整数）

$\frac{2^2 \times 3^2 \times 7}{2^a \times 3^b \times 7^c} = 2^{2-a} \times 3^{2-b} \times 7^{1-c}$

この指数が全て偶数になる必要があります。

$2-a$ が偶数になるためには、$a$ は $0$ または $2$ である必要があります。

$2-b$ が偶数になるためには、$b$ は $0$ または $2$ である必要があります。

$1-c$ が偶数になるためには、$c$ は $1$ である必要があります。

したがって、$x$ は $2^0 \times 3^0 \times 7^1 = 7$, $2^2 \times 3^0 \times 7^1 = 28$, $2^0 \times 3^2 \times 7^1 = 63$, $2^2 \times 3^2 \times 7^1 = 252$ となります。

3. 最終的な答え

7, 28, 63, 252