直円錐に外接する半球について、その半球の半径は直円錐の高さと等しいかどうかを問う問題です。

1. 問題の内容

直円錐に外接する半球について、その半球の半径は直円錐の高さと等しいかどうかを問う問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、直円錐とそれに外接する半球の位置関係を考える必要があります。

直円錐に外接する半球を考えます。半球の中心（球の中心）は、直円錐の底面の中心にあり、半球の半径は $r$ とします。半球が直円錐に外接するということは、直円錐の母線が半球に接しているということです。

直円錐の高さを $h$、底面の半径を $R$ とします。

半球の半径が直円錐の高さに等しい、つまり $r = h$ と仮定します。

直円錐の頂点から底面の中心に向かって直線を引き、さらに底面の中心から底面の円周上の点に向かって直線（底面の半径）を引くと直角三角形ができます。この直角三角形の斜辺の長さは、直円錐の母線に対応します。

三平方の定理より、直円錐の母線の長さ $l$ は、

$l = \sqrt{h^2 + R^2}$

となります。

半球に外接している条件から、直円錐の母線は半球に接しています。

直円錐の頂点から底面の中心までの距離が $h$ で、底面の中心から接点までの距離が $R$ です。半球の中心から母線に引いた垂線の長さが半球の半径 $r$ に等しくなります。

ここで、相似な三角形を考えます。

直円錐の頂点、底面の中心、底面の円周上の接点で作られる直角三角形と、半球の中心、接点、直円錐の頂点から底面の中心に下ろした垂線の足で作られる直角三角形は相似です。

この相似比から、$h$、$R$、$r$ の関係を求めることができます。

しかし、$r=h$ という条件だけでは、直円錐の底面の半径 $R$ を自由に決めることができるため、半球に外接するという条件を満たすことはできません。

つまり、半球の半径と直円錐の高さは必ずしも等しくありません。

3. 最終的な答え

いいえ、等しくありません。