$x, y, x', y'$ が有理数のとき、$x + \sqrt{2}y = x' + \sqrt{2}y'$ ならば、$x = x'$ かつ $y = y'$ であることを証明する問題です。空欄 1～5 に当てはまる選択肢を選びます。

数論無理数有理数証明代数

2025/4/18

1. 問題の内容

x, y, x', y'

が有理数のとき、

x + \sqrt{2}y = x' + \sqrt{2}y'

ならば、

x = x'

かつ

y = y'

であることを証明する問題です。空欄 1～5 に当てはまる選択肢を選びます。

2. 解き方の手順

まず、

y \neq y'

であると仮定します。与えられた式

x + \sqrt{2}y = x' + \sqrt{2}y'

を変形して

\sqrt{2}

について解きます。

\sqrt{2}y - \sqrt{2}y' = x' - x

\sqrt{2}(y - y') = x' - x

\sqrt{2} = \frac{x' - x}{y - y'}

ここで、

x, y, x', y'

は有理数なので、

\frac{x' - x}{y - y'}

は有理数でなければなりません。

しかし、

\sqrt{2}

は無理数であるため、矛盾が生じます。

したがって、

y = y'

でなければなりません。

y=y'

を

x + \sqrt{2}y = x' + \sqrt{2}y'

に代入すると、

x + \sqrt{2}y = x' + \sqrt{2}y

となり、

x = x'

が得られます。

空欄を埋めていきます。

\frac{x' - x}{y - y'}

(選択肢 5)

2: 有理数 (選択肢 2)

3: 無理数 (選択肢 1)

y = y'

(選択肢 4)

x = x'

(選択肢 3)

3. 最終的な答え

1: 5

2: 2

3: 1

4: 4

5: 3

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