連続する2つの整数を3で割ったとき、余りがそれぞれ1と2になる。この2つの整数の積から2を引いた数が9で割り切れることを示しなさい。

1. 問題の内容

連続する2つの整数を3で割ったとき、余りがそれぞれ1と2になる。この2つの整数の積から2を引いた数が9で割り切れることを示しなさい。

2. 解き方の手順

連続する2つの整数を $n$ と $n+1$ と表します。

$n$ を3で割った余りが1なので、$n = 3k + 1$ （$k$は整数）と表せます。

このとき、$n+1 = 3k + 1 + 1 = 3k + 2$ となり、$n+1$ を3で割った余りは2となります。

$n$ と $n+1$ の積から2を引いた数を計算します。

$(3k+1)(3k+2) - 2 = 9k^2 + 6k + 3k + 2 - 2 = 9k^2 + 9k = 9(k^2 + k)$

$k^2 + k$ は整数なので、$9(k^2+k)$ は9の倍数です。したがって、$(3k+1)(3k+2) - 2$ は9で割り切れます。

3. 最終的な答え

連続する2つの整数を3で割ったとき、余りがそれぞれ1と2になる場合、その2つの整数の積から2を引いた数は9で割り切れる。