117番の問題は以下の通りです。 (1) $n^2 - 28n + 160$ が素数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。 (2) $\frac{2310}{n}$ が素数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。 118番の問題は整数4800について以下の問いに答えるものです。 (1) 正の約数の個数を求めよ。 (2) 正の約数のうち、5の倍数はいくつあるか。 (3) 正の約数の総和を求めよ。 (4) 正の約数のうち、5の倍数の総和を求めよ。 119番の問題は以下の通りです。 (1) 500以下の自然数のうち、正の約数が9個である数の個数を求めよ。 (2) 24の倍数で、正の約数の個数が21個である自然数 $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

117番の問題は以下の通りです。

(1) $n^2 - 28n + 160$ が素数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

(2) $\frac{2310}{n}$ が素数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

118番の問題は整数4800について以下の問いに答えるものです。

(1) 正の約数の個数を求めよ。

(2) 正の約数のうち、5の倍数はいくつあるか。

(3) 正の約数の総和を求めよ。

(4) 正の約数のうち、5の倍数の総和を求めよ。

119番の問題は以下の通りです。

(1) 500以下の自然数のうち、正の約数が9個である数の個数を求めよ。

(2) 24の倍数で、正の約数の個数が21個である自然数 $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

117 (1)

$n^2 - 28n + 160 = (n-8)(n-20)$ と因数分解できます。

これが素数となるのは、$(n-8)$と$(n-20)$のどちらか一方が1または-1であり、もう一方が素数または素数の符号を変えたものになる場合です。

- $n-8 = 1$ のとき、$n = 9$。 $(n-20) = 9-20 = -11$。 $(n-8)(n-20) = -11$。素数ではない。

- $n-8 = -1$ のとき、$n = 7$。 $(n-20) = 7-20 = -13$。 $(n-8)(n-20) = 13$。素数。

- $n-20 = 1$ のとき、$n = 21$。 $(n-8) = 21-8 = 13$。 $(n-8)(n-20) = 13$。素数。

- $n-20 = -1$ のとき、$n = 19$。 $(n-8) = 19-8 = 11$。 $(n-8)(n-20) = -11$。素数ではない。

よって、$n=7, 21$

117 (2)

$\frac{2310}{n}$が素数となるような自然数 $n$ を求めます。

$2310 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11$

$\frac{2310}{n} = p$ (素数) とすると、$n = \frac{2310}{p}$ となります。

$p$は$2, 3, 5, 7, 11$のいずれかです。

- $p=2$ のとき、$n = \frac{2310}{2} = 1155$

- $p=3$ のとき、$n = \frac{2310}{3} = 770$

- $p=5$ のとき、$n = \frac{2310}{5} = 462$

- $p=7$ のとき、$n = \frac{2310}{7} = 330$

- $p=11$ のとき、$n = \frac{2310}{11} = 210$

よって、$n = 1155, 770, 462, 330, 210$

118 (1)

$4800 = 48 \times 100 = 2^4 \times 3 \times 2^2 \times 5^2 = 2^6 \times 3^1 \times 5^2$

約数の個数は $(6+1)(1+1)(2+1) = 7 \times 2 \times 3 = 42$ 個

118 (2)

$4800 = 2^6 \times 3^1 \times 5^2$

5の倍数となる約数は、少なくとも5を1つ含む必要があります。つまり、$5^1$または$5^2$を含む必要があります。

5の倍数の個数は $2^6 \times 3^1 \times 5^1$ または $2^6 \times 3^1 \times 5^2$の約数の個数を数えれば良いので、$5^k$ (k >= 1)となるものだから、

$(6+1)(1+1)(2) = 7 \times 2 \times 2 = 28$ 個

118 (3)

約数の総和は $(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6)(1+3)(1+5+5^2) = (127)(4)(31) = 15748$

118 (4)

5の倍数の約数の総和は

$(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6)(1+3)(5+5^2) = (127)(4)(30) = 15240$

119 (1)

約数が9個であるということは、$n = p^8$ (pは素数) または $n = p^2q^2$ (p, qは異なる素数) の形になります。

$n = p^8$ のとき、$2^8 = 256 < 500$、$3^8 > 500$ なので、$n = 256$のみ。

$n = p^2q^2$ のとき、 $n = (pq)^2 < 500$。 よって、$pq < \sqrt{500} \approx 22.36$

- $p=2$ のとき、$2q < 22.36$ より $q < 11.18$。$q=3,5,7,11$。 $n=36, 100, 196, 484$

- $p=3$ のとき、$3q < 22.36$ より $q < 7.45$。$q=2,5,7$。$q=2$は重複。 $n=225, 441$

- $p=5$ のとき、$5q < 22.36$ より $q < 4.47$。$q=2,3$。重複。

- $p=7$ のとき、$7q < 22.36$ より $q < 3.19$。$q=2,3$。重複。

- $p=11$のとき、$11q < 22.36$ より $q < 2.03$。$q=2$。重複。

よって、$n = 36, 100, 196, 225, 256, 441, 484$。7個。

119 (2)

$n$は24の倍数なので、$n = 24k = 2^3 \times 3 \times k$。

約数の個数が21個なので、 $21 = 3 \times 7$ または $21 = 21 \times 1$。

約数の個数が21であるためには、$n$ は $p^{20}$ または $p^6 q^2$ または $p^2q^6$の形になります。しかし、$n$は24の倍数なので、$2$と$3$を約数に持つ必要があります。

$n=p^{20}$ はあり得ない。

$n=p^6 q^2$の場合、$n$は$2^6 \times 3^2 = 64 \times 9 = 576$の形を取ります。 $n=24k$なので、$576=24k$から、$k=24$となります。

$n=p^2 q^6$の場合、$n$は$2^2 \times 3^6 = 4 \times 729 = 2916$の形を取ります。 $n=24k$なので、$2916=24k$から、$k=121.5$となり、$k$は整数ではないので、$n=24k$を満たしません。

また、$n = p^20, p^6 q^2, p^2 q^6$でなく、$n = p^20$ はありえません。

$n = 2^a 3^b$, $a >= 3$, $b >= 1$, $(a+1)(b+1) = 21 = 3 \times 7 = 1 \times 21$.

もし $a+1=7$, $b+1=3$, $a=6$, $b=2$. $n = 2^6 3^2 = 64 \times 9 = 576$.

$576 / 24 = 24$ なので、$n=576$ は条件を満たします。

もし $a+1=3$, $b+1=7$, $a=2$, $b=6$. これは $a \ge 3$ に反する。

もし $a+1=21$, $b+1=1$, $a=20$, $b=0$. これは $b \ge 1$ に反する。

もし $a+1=1$, $b+1=21$, $a=0$, $b=20$. これは $a \ge 3$ に反する。

答えは $n=576$

3. 最終的な答え

117 (1) $n = 7, 21$

117 (2) $n = 1155, 770, 462, 330, 210$

118 (1) 42個

118 (2) 28個

118 (3) 15748

118 (4) 15240

119 (1) 7個

119 (2) $n = 576$