全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $A = \{2, 4, 6\}$、集合 $B = \{1, 3, 4, 7\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $A = \{2, 4, 6\}$、集合 $B = \{1, 3, 4, 7\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、$U$ の要素のうち $A$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{2, 4, 6\} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\}$

(2) $\overline{B}$ は $B$ の補集合であり、$U$ の要素のうち $B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 3, 4, 7\} = \{2, 5, 6, 8, 9\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の共通部分であり、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\} \cap \{2, 5, 6, 8, 9\} = \{5, 8, 9\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合であり、$\overline{A}$ または $\overline{B}$ に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\} \cup \{2, 5, 6, 8, 9\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\}$

(2) $\overline{B} = \{2, 5, 6, 8, 9\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{5, 8, 9\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$