空間座標における4点 $O(0,0,0)$, $A(1, -1, 0)$, $B(1, 1, 4)$, $C(4, 3, 5)$ が与えられている。 平面 $OAB$ に関して点 $C$ と対称な点を $D$ とする。 (1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ と三角形 $OAB$ の面積を求める。 (2) $\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}$ の形で表す。また、$\vec{CD} \cdot \vec{OA}$ , $\vec{CD} \cdot \vec{OB}$ , $u$, $s$, $t$ を求める。 (3) 点 $C$ と点 $D$ の間の距離と四面体 $OABC$ の体積を求める。 (4) 三角形 $ABC$ の面積と、三角形 $ABC$ を底面とする三角錐 $O-ABC$ の高さを求める。 (5) 4点 $A, B, C, D$ のすべてを通る球面の中心の $z$ 座標と半径を求める。

1. 問題の内容

空間座標における4点 $O(0,0,0)$, $A(1, -1, 0)$, $B(1, 1, 4)$, $C(4, 3, 5)$ が与えられている。

平面 $OAB$ に関して点 $C$ と対称な点を $D$ とする。

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ と三角形 $OAB$ の面積を求める。

(2) $\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}$ の形で表す。また、$\vec{CD} \cdot \vec{OA}$ , $\vec{CD} \cdot \vec{OB}$ , $u$, $s$, $t$ を求める。

(3) 点 $C$ と点 $D$ の間の距離と四面体 $OABC$ の体積を求める。

(4) 三角形 $ABC$ の面積と、三角形 $ABC$ を底面とする三角錐 $O-ABC$ の高さを求める。

(5) 4点 $A, B, C, D$ のすべてを通る球面の中心の $z$ 座標と半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OA} = (1, -1, 0)$, $\vec{OB} = (1, 1, 4)$ より、

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = (1)(1) + (-1)(1) + (0)(4) = 1 - 1 + 0 = 0$.

三角形 $OAB$ の面積は、

$\frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}| = \frac{1}{2} |(1, -1, 0) \times (1, 1, 4)| = \frac{1}{2} |(-4, -4, 2)| = \frac{1}{2} \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 2^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 16 + 4} = \frac{1}{2} \sqrt{36} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$.

(2) 平面 $OAB$ に関して点 $D$ と点 $C$ が対称なので、$\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ と表せる。したがって、$u=0$ である。

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = s\vec{OA} + t\vec{OB} - \vec{OC} = (s-4, -s+t-3, 4t-5)$.

$\vec{CD} \cdot \vec{OA} = (s-4)(1) + (-s+t-3)(-1) + (4t-5)(0) = s-4 + s - t + 3 = 2s - t - 1 = 0$.

$\vec{CD} \cdot \vec{OB} = (s-4)(1) + (-s+t-3)(1) + (4t-5)(4) = s-4 - s + t - 3 + 16t - 20 = 17t - 27 = 0$.

$17t = 27$, so $t = \frac{27}{17}$.

$2s = t+1 = \frac{27}{17} + 1 = \frac{44}{17}$.

$s = \frac{22}{17}$.

(3) $\vec{OC} = (4,3,5)$, $\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} = \frac{22}{17}(1, -1, 0) + \frac{27}{17}(1, 1, 4) = (\frac{22}{17} + \frac{27}{17}, -\frac{22}{17} + \frac{27}{17}, \frac{108}{17}) = (\frac{49}{17}, \frac{5}{17}, \frac{108}{17})$.

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = (\frac{49}{17} - 4, \frac{5}{17} - 3, \frac{108}{17} - 5) = (\frac{49-68}{17}, \frac{5-51}{17}, \frac{108-85}{17}) = (-\frac{19}{17}, -\frac{46}{17}, \frac{23}{17})$.

$CD = |\vec{CD}| = \sqrt{(-\frac{19}{17})^2 + (-\frac{46}{17})^2 + (\frac{23}{17})^2} = \frac{1}{17} \sqrt{361 + 2116 + 529} = \frac{1}{17} \sqrt{3006} = \frac{\sqrt{3006}}{17} = \frac{3 \sqrt{334}}{17}$

四面体 $OABC$ の体積 $V = \frac{1}{6} |\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})| = \frac{1}{6} |(1, -1, 0) \cdot ((1, 1, 4) \times (4, 3, 5))| = \frac{1}{6} |(1, -1, 0) \cdot (5-12, 16-5, 3-4)| = \frac{1}{6} |(1, -1, 0) \cdot (-7, 11, -1)| = \frac{1}{6} |-7 - 11 + 0| = \frac{1}{6} |-18| = 3$.

(4) $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (1, 1, 4) - (1, -1, 0) = (0, 2, 4)$.

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (4, 3, 5) - (1, -1, 0) = (3, 4, 5)$.

三角形 $ABC$ の面積は $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} |(0, 2, 4) \times (3, 4, 5)| = \frac{1}{2} |(10-16, 12-0, 0-6)| = \frac{1}{2} |(-6, 12, -6)| = \frac{1}{2} \sqrt{(-6)^2 + 12^2 + (-6)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 144 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{216} = \frac{1}{2} \sqrt{36 \cdot 6} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$.

三角形 $ABC$ を底面とする三角錐 $O-ABC$ の高さ $h$ について、$V = \frac{1}{3} \cdot (3\sqrt{6}) \cdot h = 3$.

$h = \frac{3 \cdot 3}{3\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

(5) 点 $M(x, y, z)$ を球の中心とする。

$MA^2 = MB^2 = MC^2 = MD^2$ である。

$MA^2 = (x-1)^2 + (y+1)^2 + z^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 + z^2$

$MB^2 = (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-4)^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + z^2 - 8z + 16$

$MC^2 = (x-4)^2 + (y-3)^2 + (z-5)^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 + z^2 - 10z + 25$

$MD^2 = (x - \frac{49}{17})^2 + (y-\frac{5}{17})^2 + (z-\frac{108}{17})^2$

$MA^2 = MB^2$ より $-2x + 2y + 2 = -2x - 2y - 8z + 18$.

$4y + 8z = 16$, so $y + 2z = 4$, $y = 4 - 2z$.

$MA^2 = MC^2$ より $-2x + 2y + 2 = -8x - 6y - 10z + 50$.

$6x + 8y + 10z = 48$, $3x + 4y + 5z = 24$.

$3x + 4(4-2z) + 5z = 24$.

$3x + 16 - 8z + 5z = 24$.

$3x - 3z = 8$, $x = z + \frac{8}{3}$.

$z$ 座標は平面 $OAB$ と $CD$ の中点の $z$ 座標である。平面 $OAB$ の法線ベクトルは $\vec{OA} \times \vec{OB} = (-4, -4, 2)$ である。

$C$ と $D$ の中点 $E$ は$(\frac{49/17 + 4}{2}, \frac{5/17 + 3}{2}, \frac{108/17 + 5}{2}) = (\frac{117/17}{2}, \frac{56/17}{2}, \frac{193/17}{2}) = (\frac{117}{34}, \frac{28}{17}, \frac{193}{34})$.

したがって中心の $z$ 座標は $\frac{193}{34}$

$x = z + \frac{8}{3}$、 $y = 4 - 2z$より、$MA^2 = (z + \frac{8}{3} - 1)^2 + (4 - 2z + 1)^2 + z^2 = (z + \frac{5}{3})^2 + (5 - 2z)^2 + z^2 = z^2 + \frac{10}{3}z + \frac{25}{9} + 4z^2 - 20z + 25 + z^2 = 6z^2 - \frac{50}{3}z + \frac{250}{9} = 6(z^2 - \frac{25}{9}z + \frac{125}{27})$

3. 最終的な答え

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$

$S_{OAB} = 3$

$u = 0$

$\vec{CD} \cdot \vec{OA} = 0$

$\vec{CD} \cdot \vec{OB} = 0$

$s = \frac{22}{17}$

$t = \frac{27}{17}$

$CD = \frac{3\sqrt{334}}{17}$

$V_{OABC} = 3$

$S_{ABC} = 3\sqrt{6}$

$h = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$z = \frac{193}{34}$

$R = \frac{\sqrt{37870}}{34}$