(1) $\frac{2}{m} + \frac{4}{n} = 1$ を満たす自然数 $m, n$ の組 $(m, n)$ をすべて求める。 (2) $x^2 + 7y^2 = 32$ を満たす自然数 $x, y$ の組 $(x, y)$ をすべて求める。

1. 問題の内容

(1) $\frac{2}{m} + \frac{4}{n} = 1$ を満たす自然数 $m, n$ の組 $(m, n)$ をすべて求める。

(2) $x^2 + 7y^2 = 32$ を満たす自然数 $x, y$ の組 $(x, y)$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{2}{m} + \frac{4}{n} = 1$ を変形する。

$\frac{4}{n} = 1 - \frac{2}{m} = \frac{m-2}{m}$

$n = \frac{4m}{m-2}$

$n = \frac{4(m-2)+8}{m-2} = 4 + \frac{8}{m-2}$

$n$ が自然数なので、$\frac{8}{m-2}$ も自然数である必要がある。つまり、$m-2$ は8の約数でなければならない。

$m-2 = 1, 2, 4, 8$

$m = 3, 4, 6, 10$

$m=3$ のとき $n = 4 + \frac{8}{1} = 12$

$m=4$ のとき $n = 4 + \frac{8}{2} = 8$

$m=6$ のとき $n = 4 + \frac{8}{4} = 6$

$m=10$ のとき $n = 4 + \frac{8}{8} = 5$

(2) $x^2 + 7y^2 = 32$ を満たす自然数 $x, y$ の組を求める。

$y$ に自然数を代入して、$x$ が自然数になるものを探す。

$y=1$ のとき $x^2 = 32 - 7 = 25$ なので $x=5$

$y=2$ のとき $x^2 = 32 - 7(4) = 32 - 28 = 4$ なので $x=2$

$y=3$ のとき $x^2 = 32 - 7(9) = 32 - 63 = -31$ となり、これは条件を満たさない。$y \geq 3$ のときは常に $x^2 < 0$ となるため、考える必要はない。

3. 最終的な答え

(1) $(m, n) = (3, 12), (4, 8), (6, 6), (10, 5)$

(2) $(x, y) = (5, 1), (2, 2)$