2次関数 $y = x^2 + 2ax - 3a + 1$ の最小値 $m$ を $a$ で表し、さらに $m$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2ax - 3a + 1$ の最小値 $m$ を $a$ で表し、さらに $m$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 2ax - 3a + 1$

$y = (x^2 + 2ax + a^2) - a^2 - 3a + 1$

$y = (x + a)^2 - a^2 - 3a + 1$

したがって、この2次関数の頂点の座標は $(-a, -a^2 - 3a + 1)$ であり、下に凸な放物線であるため、最小値 $m$ は $m = -a^2 - 3a + 1$ となります。

次に、$m = -a^2 - 3a + 1$ の最大値を求めます。これも平方完成します。

$m = -(a^2 + 3a) + 1$

$m = -(a^2 + 3a + (\frac{3}{2})^2) + (\frac{3}{2})^2 + 1$

$m = -(a + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + 1$

$m = -(a + \frac{3}{2})^2 + \frac{13}{4}$

したがって、$m$ は $a = -\frac{3}{2}$ のとき最大値 $\frac{13}{4}$ を取ります。

3. 最終的な答え

最小値 $m$ を $a$ で表すと、 $m = -a^2 - 3a + 1$ です。

$m$ の最大値は $\frac{13}{4}$ です。