2次関数 $y = x^2 + 2ax - 3a + 1$ の最小値 $m$ を $a$ で表し、さらに $m$ の最大値を求める。

代数学二次関数平方完成最大値最小値
2025/3/16

1. 問題の内容

2次関数 y=x2+2ax3a+1y = x^2 + 2ax - 3a + 1 の最小値 mmaa で表し、さらに mm の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。
y=x2+2ax3a+1y = x^2 + 2ax - 3a + 1
y=(x2+2ax+a2)a23a+1y = (x^2 + 2ax + a^2) - a^2 - 3a + 1
y=(x+a)2a23a+1y = (x + a)^2 - a^2 - 3a + 1
したがって、この2次関数の頂点の座標は (a,a23a+1)(-a, -a^2 - 3a + 1) であり、下に凸な放物線であるため、最小値 mmm=a23a+1m = -a^2 - 3a + 1 となります。
次に、m=a23a+1m = -a^2 - 3a + 1 の最大値を求めます。これも平方完成します。
m=(a2+3a)+1m = -(a^2 + 3a) + 1
m=(a2+3a+(32)2)+(32)2+1m = -(a^2 + 3a + (\frac{3}{2})^2) + (\frac{3}{2})^2 + 1
m=(a+32)2+94+1m = -(a + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + 1
m=(a+32)2+134m = -(a + \frac{3}{2})^2 + \frac{13}{4}
したがって、mma=32a = -\frac{3}{2} のとき最大値 134\frac{13}{4} を取ります。

3. 最終的な答え

最小値 mmaa で表すと、 m=a23a+1m = -a^2 - 3a + 1 です。
mm の最大値は 134\frac{13}{4} です。

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