2次関数 $y = x^2 + 2ax - 3a + 1$ の最小値 $m$ を $a$ で表し、さらに $m$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2ax - 3a + 1$ の最小値 $m$ を $a$ で表し、さらに $m$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 + 2ax - 3a + 1$

$y = (x^2 + 2ax + a^2) - a^2 - 3a + 1$

$y = (x + a)^2 - a^2 - 3a + 1$

したがって、頂点の座標は $(-a, -a^2 - 3a + 1)$ である。

この2次関数のグラフは下に凸であるから、最小値 $m$ は頂点の $y$ 座標に等しい。

よって、$m = -a^2 - 3a + 1$ である。

次に、$m$ の最大値を求める。$m$ を $a$ の2次関数と見て、平方完成する。

$m = -a^2 - 3a + 1$

$m = -(a^2 + 3a) + 1$

$m = -(a^2 + 3a + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 1$

$m = -(a + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + 1$

$m = -(a + \frac{3}{2})^2 + \frac{13}{4}$

$m$ は $a = -\frac{3}{2}$ のとき最大値 $\frac{13}{4}$ をとる。

3. 最終的な答え

最小値 $m = -a^2 - 3a + 1$

$m$ の最大値は $\frac{13}{4}$