球Aを角度45°、初速度 $10\sqrt{2}$ m/sで地上から斜方投射する。同時に、球Aよりも右方向に位置する球Bを地上から高さ45mの位置から自由落下させる。球Aと球Bが衝突するまでの時間を求めよ。ただし、重力加速度の大きさは$9.8 \ m/s^2$とする。

1. 問題の内容

球Aを角度45°、初速度 $10\sqrt{2}$ m/sで地上から斜方投射する。同時に、球Aよりも右方向に位置する球Bを地上から高さ45mの位置から自由落下させる。球Aと球Bが衝突するまでの時間を求めよ。ただし、重力加速度の大きさは$9.8 \ m/s^2$とする。

2. 解き方の手順

まず、球Aの運動を水平方向と鉛直方向に分解します。

* 初速度の水平成分: $v_{Ax} = v_A \cos 45^\circ = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \ m/s$

* 初速度の鉛直成分: $v_{Ay} = v_A \sin 45^\circ = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \ m/s$

球Aの鉛直方向の運動は、等加速度運動です。時刻$t$における球Aの高さ$y_A$は次の式で表されます。

$y_A = v_{Ay} t - \frac{1}{2}gt^2 = 10t - \frac{1}{2}(9.8)t^2 = 10t - 4.9t^2$

球Bの自由落下運動における時刻$t$における高さ$y_B$は次の式で表されます。

$y_B = h - \frac{1}{2}gt^2 = 45 - \frac{1}{2}(9.8)t^2 = 45 - 4.9t^2$

球Aと球Bが衝突する時、高さが等しくなります。したがって、$y_A = y_B$となる時刻$t$を求めます。

$10t - 4.9t^2 = 45 - 4.9t^2$

$10t = 45$

$t = \frac{45}{10} = 4.5 \ s$

3. 最終的な答え

衝突したのは球が動き始めてから4.5秒後です。