半径6cmの半円と、底辺が8cm、高さが6cmの直角三角形を組み合わせた図形を、直線$l$を軸として1回転させてできる立体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

半径6cmの半円と、底辺が8cm、高さが6cmの直角三角形を組み合わせた図形を、直線$l$を軸として1回転させてできる立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

この立体は、半球と円錐を組み合わせた形になります。

まず、半球の体積を求めます。

半径$r$の球の体積は $\frac{4}{3}\pi r^3$ なので、半径6cmの半球の体積は、

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\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi (6)^3 = \frac{2}{3} \pi \times 216 = 144\pi \text{ cm}^3

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次に、円錐の体積を求めます。

底面の半径$r$、高さ$h$の円錐の体積は $\frac{1}{3} \pi r^2 h$ なので、底面の半径8cm、高さ6cmの円錐の体積は、

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\frac{1}{3} \pi (8)^2 (6) = \frac{1}{3} \pi \times 64 \times 6 = 128\pi \text{ cm}^3

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最後に、半球と円錐の体積を足し合わせます。

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144\pi + 128\pi = 272\pi \text{ cm}^3

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3. 最終的な答え

$272\pi \text{ cm}^3$