問題26は、$w = i(z + 2)$という複素数平面上の変換が与えられています。点 $z$ が原点Oを中心とする半径1の円上を動くとき、点 $w$ はどのような図形を描くか答える問題です。 問題27(1)は、問題26の変換 $w = i(z + 2)$ によって、点 $w$ が点 $z$ をどのように移動した点であるかを答える問題です。 問題27(2)は、応用例題2の $w = iz + 2$ と問題26の $w = i(z + 2)$ の違いを説明する問題です。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答します。

1. 問題の内容

問題26は、$w = i(z + 2)$という複素数平面上の変換が与えられています。点 $z$ が原点Oを中心とする半径1の円上を動くとき、点 $w$ はどのような図形を描くか答える問題です。

問題27(1)は、問題26の変換 $w = i(z + 2)$ によって、点 $w$ が点 $z$ をどのように移動した点であるかを答える問題です。

問題27(2)は、応用例題2の $w = iz + 2$ と問題26の $w = i(z + 2)$ の違いを説明する問題です。

2. 解き方の手順

問題26：

まず、$z$ は原点中心、半径1の円上を動くので、$z = e^{i\theta}$ ($0 \le \theta < 2\pi$) と表すことができます。これを $w = i(z + 2)$ に代入します。

$w = i(e^{i\theta} + 2) = ie^{i\theta} + 2i$

ここで、$ie^{i\theta}$ は $e^{i\theta}$ を原点を中心に $\frac{\pi}{2}$ だけ回転させたものです。つまり、$z$ を $\frac{\pi}{2}$ だけ回転させ、さらに $2i$ だけ平行移動させたものが $w$ となります。回転させても半径は変わらないので、$ie^{i\theta}$ は原点中心、半径1の円を描きます。これを $2i$ だけ平行移動すると、中心が $2i$ で半径1の円になります。

問題27(1)：

$w = i(z + 2) = iz + 2i$ と変形できます。これは $z$ を原点を中心に $\frac{\pi}{2}$ 回転させ、さらに $2i$ だけ平行移動させた点です。

問題27(2)：

$w = iz + 2$ は、点 $z$ を原点の周りに $\frac{\pi}{2}$ だけ回転させた後、2だけ足した複素数を表します。つまり、$z$ を原点を中心に $\frac{\pi}{2}$ だけ回転させ、実軸方向に2だけ平行移動させた点です。

一方、$w = i(z+2)$ は、$w = iz + 2i$ と変形できますので、$z$ を原点を中心に $\frac{\pi}{2}$ だけ回転させた後、$2i$だけ足した複素数を表します。つまり、$z$ を原点を中心に $\frac{\pi}{2}$ だけ回転させ、虚軸方向に2だけ平行移動させた点です。

3. 最終的な答え

問題26：点 $w$ は中心 $2i$、半径1の円を描く。

問題27(1)：点 $w$ は点 $z$ を原点を中心に $\frac{\pi}{2}$ 回転させ、さらに $2i$ だけ平行移動させた点である。

問題27(2)：$w = iz + 2$ は $z$ を $\frac{\pi}{2}$ 回転させて実軸方向に2平行移動、$w = i(z + 2)$ は $z$ を $\frac{\pi}{2}$ 回転させて虚軸方向に2平行移動する。