$\theta$ は鋭角で、$\tan \theta = 2$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan (90^\circ - \theta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ は鋭角で、$\tan \theta = 2$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan (90^\circ - \theta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2$ であることから、$\sin \theta = 2 \cos \theta$ が成り立つ。

次に、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用する。

$\sin \theta = 2 \cos \theta$ を代入すると、

$(2 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$4 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$5 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ である。したがって、

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta = 2 \cos \theta = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\tan (90^\circ - \theta) = \frac{\sin (90^\circ - \theta)}{\cos (90^\circ - \theta)} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan (90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$