$\sin{75^\circ}$ の値を、三角関数の加法定理を用いて計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sin{75^\circ}$ の値を、三角関数の加法定理を用いて計算する問題です。

2. 解き方の手順

$\sin{75^\circ}$ を $\sin(45^\circ + 30^\circ)$ と変形し、三角関数の加法定理を適用します。

$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

これより、

$\sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$

次に、$\sin 45^\circ$, $\cos 30^\circ$, $\cos 45^\circ$, $\sin 30^\circ$ の値をそれぞれ代入します。

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

これらの値を代入して計算を進めます。

$\sin(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$