円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAC = 75^\circ$, $\angle ABC = 50^\circ$である。このとき、$\alpha$と$\beta$を求めよ。ここで、$\alpha = \angle BCD$, $\beta = \angle ADC$である。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAC = 75^\circ$, $\angle ABC = 50^\circ$である。このとき、$\alpha$と$\beta$を求めよ。ここで、$\alpha = \angle BCD$, $\beta = \angle ADC$である。

2. 解き方の手順

* 円に内接する四角形の対角の和は180°である。

したがって、

$\alpha + \angle BAD = 180^\circ$

$\beta + \angle ABC = 180^\circ$

* $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$なので、$\angle CAD$を求める必要がある。

* 円周角の定理より、$\angle CAD = \angle CBD$である。

* $\angle ACB$を求める。三角形ABCの内角の和は180°なので、

$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 75^\circ - 50^\circ = 55^\circ$

* 円周角の定理より、$\angle CAD = \angle CBD$なので、$\angle CAD = \angle CBD$である。

* 円周角の定理より、$\angle BDC = \angle BAC = 75^\circ$。

* $\angle BCD = \alpha = 180^\circ - (\angle BAC + \angle CAD) = 180^\circ - \angle BAD$

* $\beta = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

* $\angle BAC=75^\circ$より、$\angle BDC = 75^\circ$となる。よって、$\beta$の値から$\alpha$を求めることができない。

* 円に内接する四角形の対角の和は180°なので、$\alpha + \angle BAD = 180^\circ$

$\alpha = 180^\circ - \angle BAD$

* $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$なので、$\angle CAD$を求める。

* $\angle CAD = \angle CBD$。

* 円周角の定理より、$\angle BDC = \angle BAC = 75^\circ$である。

* 四角形の内角の和は360°なので、$\angle BCD + \angle DAB + \angle ABC + \angle ADC = 360^\circ$

$\alpha + (\angle BAC + \angle CAD) + 50^\circ + \beta = 360^\circ$

$\alpha + 75^\circ + \angle CAD + 50^\circ + 130^\circ = 360^\circ$

$\alpha + \angle CAD = 105^\circ$

* $\alpha = 180^\circ - (75^\circ + \angle CAD)$

* $\alpha = 180^\circ - 75^\circ - \angle CAD = 105^\circ - \angle CAD$

$\alpha + \angle CAD = 105^\circ$

* $\beta = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

* $\alpha = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ (間違い、円に内接する四角形ABCDにおいて、対角の和は180度となるためには、向かい合う角がそれぞれ角Bと角D、角Aと角Cでないといけない)

* $\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 75^\circ = 150^\circ$. よって、$\angle BCD = \alpha = \frac{1}{2}\angle BOC = 125^\circ$ （これも間違い）

* $\alpha = 180^\circ - 75^\circ=105^\circ$, $\beta = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. これは対角の和を利用しているが間違い。

* $\angle BAD = 75^\circ + 50^\circ = 125^\circ$. $\alpha = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$. $\beta = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

3. 最終的な答え

$\alpha = 55^\circ$

$\beta = 130^\circ$