## 問題

## 問題

問題は、式 $x^2 - y^2 + x + 5y - 6$ を因数分解することです。

## 解き方の手順

1. $x^2 + x$ の部分と $-y^2 + 5y - 6$ の部分に分けて考えます。

2. $-y^2 + 5y - 6$の部分を因数分解します。

$-y^2 + 5y - 6 = -(y^2 - 5y + 6) = -(y-2)(y-3)$

3. $x^2 - y^2$ の部分を $(x+y)(x-y)$ と因数分解します。

4. 式全体を整理して、共通因数を見つけやすい形に変形します。

$x^2 - y^2 + x + 5y - 6 = (x+y)(x-y) + x + 5y - 6$

$(x+y)(x-y) + x + 5y - 6$ を見て、さらに因数分解を進めるのが難しいと感じます。

別の方法を試します。

$x^2 + x$ と $-y^2 + 5y - 6$ に分けましたが、今回は$x^2 + x -6$ と $-y^2 + 5y$に分けます。

5. $x^2 + x - 6$ の部分を因数分解します。

$x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$

6. 式全体を書き換えます。

$x^2 - y^2 + x + 5y - 6 = (x^2 + x - 6) - (y^2 - 5y + 0) = (x+3)(x-2) - y(y-5)$

この形では、まだ因数分解を進めるのが難しいです。

さらに別の方法を試します。

7. $x^2 + x - 6$ と $-y^2 + 5y$に分けましたが、$x^2 + x$ と $-y^2 + 5y -6$に分けます。 $-y^2 + 5y -6$は$ -(y-2)(y-3)$でした。

$x^2 - y^2 + x + 5y - 6 = x^2 + x - (y^2 - 5y + 6) = x^2 + x - (y-2)(y-3)$.

この形でもまだ因数分解を進めるのが難しいです。

もう一度、$x^2 - y^2$を$(x+y)(x-y)$と因数分解する方法に戻ります。

$x^2 - y^2 + x + 5y - 6 = (x+y)(x-y) + x + 5y - 6$.

8. 定数項-6を変形し、 $(x-y)$ または $(x+y)$ を作ることを考えます。

$x^2 - y^2 + x + 5y - 6 = (x+y)(x-y) + x + 5y -6 = (x+y)(x-y) + (x-y) + 6y - 6 = (x-y)(x+y+1) + 6(y-1)$

9. ここで、最初の式を$(x-2)$でくくることを試します。

$x^2 - y^2 + x + 5y - 6 = (x-2)(x+3) - (y^2 - 5y + 6) = (x-2)(x+3) - (y-2)(y-3)$

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0. 式を並び替えて、$(x-2)$ と $(y-2)$ を含む項をまとめることを試します。

$x^2 + x - y^2 + 5y - 6 = (x^2 - 4) - (y^2 - 4) + (x - 2) + 5(y-2) = (x-2)(x+2) - (y-2)(y+2) + (x-2) + 5(y-2) = (x-2)(x+2+1) - (y-2)(y+2-5) = (x-2)(x+3) - (y-2)(y-3) = (x+3)(x-2) - (y-2)(y-3)$

これは最初の式に戻ってしまいました。

しかし、もう一度$(x-2)$と$(y-3)$に着目して、

$x^2 - y^2 + x + 5y - 6 = (x-2)(x+3) - (y-2)(y-3)$ を変形します。

$x^2 - y^2 + x + 5y - 6 = (x+y+3)(x-y-2)$.

## 最終的な答え

$(x+y+3)(x-y-2)$