与えられた3点A, B, Cを通る円の方程式を求める問題です。以下の2つの場合について計算します。 (1) A(1, 1), B(2, 1), C(-1, 0) (2) A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2)

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた3点A, B, Cを通る円の方程式を求める問題です。以下の2つの場合について計算します。

(1) A(1, 1), B(2, 1), C(-1, 0)

(2) A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2)

2. 解き方の手順

円の方程式を一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおきます。

それぞれの点の座標を代入し、l, m, n についての連立方程式を立て、解きます。

(1) A(1, 1), B(2, 1), C(-1, 0) の場合

A(1, 1) を代入: $1^2 + 1^2 + l + m + n = 0 \Rightarrow l + m + n = -2$ (1)

B(2, 1) を代入: $2^2 + 1^2 + 2l + m + n = 0 \Rightarrow 2l + m + n = -5$ (2)

C(-1, 0) を代入: $(-1)^2 + 0^2 - l + 0m + n = 0 \Rightarrow -l + n = -1$ (3)

(2) - (1): $l = -3$

(3) に代入: $3 + n = -1 \Rightarrow n = -4$

(1) に代入: $-3 + m - 4 = -2 \Rightarrow m = 5$

よって、$x^2 + y^2 -3x + 5y - 4 = 0$

標準形に変形します。

$(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 - 4 = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{25}{4} + \frac{16}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$

(2) A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2)の場合

A(1, 3) を代入: $1^2 + 3^2 + l + 3m + n = 0 \Rightarrow l + 3m + n = -10$ (4)

B(5, -5) を代入: $5^2 + (-5)^2 + 5l - 5m + n = 0 \Rightarrow 5l - 5m + n = -50$ (5)

C(4, 2) を代入: $4^2 + 2^2 + 4l + 2m + n = 0 \Rightarrow 4l + 2m + n = -20$ (6)

(5) - (4): $4l - 8m = -40 \Rightarrow l - 2m = -10$ (7)

(6) - (4): $3l - m = -10$ (8)

(8) より $m = 3l + 10$

(7) に代入: $l - 2(3l + 10) = -10 \Rightarrow l - 6l - 20 = -10 \Rightarrow -5l = 10 \Rightarrow l = -2$

$m = 3(-2) + 10 = -6 + 10 = 4$

(4) に代入: $-2 + 12 + n = -10 \Rightarrow n = -20$

よって、$x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$

標準形に変形します。

$(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 - 20 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 -3x + 5y - 4 = 0$ あるいは $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{25}{2}$

(2) $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ あるいは $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$