直線 $y = 2x - 1$ が以下の円によって切り取られてできる線分の長さと、その線分の中点の座標を求めます。 (1) $x^2 + y^2 = 2$ (2) $x^2 + (y - 1)^2 = 2$ (3) $x^2 + y^2 - 2(x + y) = 0$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x - 1$ が以下の円によって切り取られてできる線分の長さと、その線分の中点の座標を求めます。

(1) $x^2 + y^2 = 2$

(2) $x^2 + (y - 1)^2 = 2$

(3) $x^2 + y^2 - 2(x + y) = 0$

2. 解き方の手順

各場合について、直線と円の交点を求め、その2点間の距離を計算し、中点の座標を計算します。

(1) $x^2 + y^2 = 2$ の場合

まず、直線の式 $y = 2x - 1$ を円の式に代入します。

$x^2 + (2x - 1)^2 = 2$

$x^2 + 4x^2 - 4x + 1 = 2$

$5x^2 - 4x - 1 = 0$

$(5x + 1)(x - 1) = 0$

$x = -\frac{1}{5}, 1$

$x = -\frac{1}{5}$ のとき、$y = 2(-\frac{1}{5}) - 1 = -\frac{7}{5}$

$x = 1$ のとき、$y = 2(1) - 1 = 1$

交点は $(-\frac{1}{5}, -\frac{7}{5})$ と $(1, 1)$ です。

線分の長さは $\sqrt{(1 - (-\frac{1}{5}))^2 + (1 - (-\frac{7}{5}))^2} = \sqrt{(\frac{6}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2} = \sqrt{\frac{36}{25} + \frac{144}{25}} = \sqrt{\frac{180}{25}} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$

中点の座標は $(\frac{-\frac{1}{5} + 1}{2}, \frac{-\frac{7}{5} + 1}{2}) = (\frac{\frac{4}{5}}{2}, \frac{-\frac{2}{5}}{2}) = (\frac{2}{5}, -\frac{1}{5})$

(2) $x^2 + (y - 1)^2 = 2$ の場合

$y = 2x - 1$ を円の式に代入します。

$x^2 + (2x - 1 - 1)^2 = 2$

$x^2 + (2x - 2)^2 = 2$

$x^2 + 4x^2 - 8x + 4 = 2$

$5x^2 - 8x + 2 = 0$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 40}}{10} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{10} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{10} = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{5}$

$x_1 = \frac{4 + \sqrt{6}}{5}$ のとき、$y_1 = 2(\frac{4 + \sqrt{6}}{5}) - 1 = \frac{8 + 2\sqrt{6}}{5} - 1 = \frac{3 + 2\sqrt{6}}{5}$

$x_2 = \frac{4 - \sqrt{6}}{5}$ のとき、$y_2 = 2(\frac{4 - \sqrt{6}}{5}) - 1 = \frac{8 - 2\sqrt{6}}{5} - 1 = \frac{3 - 2\sqrt{6}}{5}$

線分の長さは $\sqrt{(\frac{4 + \sqrt{6}}{5} - \frac{4 - \sqrt{6}}{5})^2 + (\frac{3 + 2\sqrt{6}}{5} - \frac{3 - 2\sqrt{6}}{5})^2} = \sqrt{(\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 + (\frac{4\sqrt{6}}{5})^2} = \sqrt{\frac{24}{25} + \frac{96}{25}} = \sqrt{\frac{120}{25}} = \sqrt{\frac{24}{5}} = \frac{2\sqrt{30}}{5}$

中点の座標は $(\frac{\frac{4 + \sqrt{6}}{5} + \frac{4 - \sqrt{6}}{5}}{2}, \frac{\frac{3 + 2\sqrt{6}}{5} + \frac{3 - 2\sqrt{6}}{5}}{2}) = (\frac{\frac{8}{5}}{2}, \frac{\frac{6}{5}}{2}) = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

(3) $x^2 + y^2 - 2(x + y) = 0$ の場合

$x^2 - 2x + y^2 - 2y = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$

円の中心は $(1, 1)$ であり、半径は $\sqrt{2}$ です。

$y = 2x - 1$ を円の式に代入します。

$x^2 + (2x - 1)^2 - 2(x + 2x - 1) = 0$

$x^2 + 4x^2 - 4x + 1 - 2(3x - 1) = 0$

$5x^2 - 4x + 1 - 6x + 2 = 0$

$5x^2 - 10x + 3 = 0$

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 60}}{10} = \frac{10 \pm \sqrt{40}}{10} = \frac{10 \pm 2\sqrt{10}}{10} = \frac{5 \pm \sqrt{10}}{5}$

$x_1 = \frac{5 + \sqrt{10}}{5}$ のとき、$y_1 = 2(\frac{5 + \sqrt{10}}{5}) - 1 = \frac{10 + 2\sqrt{10}}{5} - 1 = \frac{5 + 2\sqrt{10}}{5}$

$x_2 = \frac{5 - \sqrt{10}}{5}$ のとき、$y_2 = 2(\frac{5 - \sqrt{10}}{5}) - 1 = \frac{10 - 2\sqrt{10}}{5} - 1 = \frac{5 - 2\sqrt{10}}{5}$

線分の長さは $\sqrt{(\frac{5 + \sqrt{10}}{5} - \frac{5 - \sqrt{10}}{5})^2 + (\frac{5 + 2\sqrt{10}}{5} - \frac{5 - 2\sqrt{10}}{5})^2} = \sqrt{(\frac{2\sqrt{10}}{5})^2 + (\frac{4\sqrt{10}}{5})^2} = \sqrt{\frac{40}{25} + \frac{160}{25}} = \sqrt{\frac{200}{25}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

中点の座標は $(\frac{\frac{5 + \sqrt{10}}{5} + \frac{5 - \sqrt{10}}{5}}{2}, \frac{\frac{5 + 2\sqrt{10}}{5} + \frac{5 - 2\sqrt{10}}{5}}{2}) = (\frac{\frac{10}{5}}{2}, \frac{\frac{10}{5}}{2}) = (1, 1)$

3. 最終的な答え

(1) 線分の長さ: $\frac{6\sqrt{5}}{5}$, 中点の座標: $(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5})$

(2) 線分の長さ: $\frac{2\sqrt{30}}{5}$, 中点の座標: $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

(3) 線分の長さ: $2\sqrt{2}$, 中点の座標: $(1, 1)$