問題は2つあります。 (1) ベクトル $\vec{a} = (1, 1)$ と $\vec{b} = (0, -2)$ のなす角を求める。 (2) ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ と $\vec{b} = (-1, -4)$ が与えられたとき、$\vec{a} + 2\vec{b}$ と直交するベクトルをすべて求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) ベクトル $\vec{a} = (1, 1)$ と $\vec{b} = (0, -2)$ のなす角を求める。

(2) ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ と $\vec{b} = (-1, -4)$ が与えられたとき、$\vec{a} + 2\vec{b}$ と直交するベクトルをすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つのベクトルのなす角を求めるには、内積の公式を使う。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$

ここで、$\theta$ は2つのベクトルのなす角を表す。

まず、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(0) + (1)(-2) = 0 - 2 = -2$

次に、ベクトルの大きさ $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ を計算する。

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$

内積の公式から $\cos\theta$ を求める。

$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ より、$\theta = \frac{3\pi}{4}$ (または $135^\circ$)

(2) まず、ベクトル $\vec{a} + 2\vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} + 2\vec{b} = (1, -2) + 2(-1, -4) = (1, -2) + (-2, -8) = (1 - 2, -2 - 8) = (-1, -10)$

$\vec{a} + 2\vec{b} = (-1, -10)$ と直交するベクトルを $\vec{v} = (x, y)$ とすると、内積が0になる。

$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot \vec{v} = 0$

$(-1, -10) \cdot (x, y) = 0$

$-x - 10y = 0$

$x = -10y$

したがって、$\vec{v} = (-10y, y)$ と表せる。 $y$ は任意の実数なので、$y = k$ (定数) とおくと、

$\vec{v} = (-10k, k) = k(-10, 1)$

3. 最終的な答え

(1) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $\frac{3\pi}{4}$ (または $135^\circ$) です。

(2) $\vec{a} + 2\vec{b}$ と直交するベクトルは、$\vec{v} = k(-10, 1)$ (ただし、$k$ は任意の実数) です。