与えられた多項式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (-3y + 5)x + (-2y^2 + 5y - 3)$

次に、$x$ を含まない項 $-2y^2 + 5y - 3$ を因数分解します。

$-2y^2 + 5y - 3 = -(2y^2 - 5y + 3) = -(2y - 3)(y - 1) = (3 - 2y)(y - 1)$

与式を $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形に因数分解できると仮定します。

$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3 = (2x + y + a)(x - 2y + b)$ と仮定してみます。

展開すると

$2x^2 -4xy + 2bx + xy - 2y^2 + by + ax - 2ay + ab$

$= 2x^2 - 3xy - 2y^2 + (2b + a)x + (b - 2a)y + ab$

係数を比較すると

$2b + a = 5$

$b - 2a = 5$

$ab = -3$

$2b + a = 5$ より $a = 5 - 2b$

$b - 2(5 - 2b) = 5$

$b - 10 + 4b = 5$

$5b = 15$

$b = 3$

$a = 5 - 2(3) = 5 - 6 = -1$

$ab = (-1)(3) = -3$

よって、$(2x + y - 1)(x - 2y + 3)$

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(x - 2y + 3)$