円に内接する四角形ABCDがあり、辺AC上に点Eを$\angle ADE = \angle BDC$となるように取るとき、以下の(1)～(5)を証明する問題です。 (1) $\triangle DAE \sim \triangle DBC$ (2) $AD \cdot BC = AE \cdot BD$ (3) $\triangle ABD \sim \triangle ECD$ (4) $AB \cdot CD = EC \cdot BD$ (5) $AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、辺AC上に点Eを$\angle ADE = \angle BDC$となるように取るとき、以下の(1)～(5)を証明する問題です。

(1) $\triangle DAE \sim \triangle DBC$

(2) $AD \cdot BC = AE \cdot BD$

(3) $\triangle ABD \sim \triangle ECD$

(4) $AB \cdot CD = EC \cdot BD$

(5) $AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$

2. 解き方の手順

(1) $\triangle DAE$と$\triangle DBC$において、

仮定より$\angle ADE = \angle BDC$

円周角の定理より$\angle DAE = \angle DBC$（弧DCに対する円周角）

2角がそれぞれ等しいので、$\triangle DAE \sim \triangle DBC$

(2) (1)より、$\triangle DAE \sim \triangle DBC$なので、対応する辺の比が等しい。

$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{BC}$

よって、$AD \cdot BC = AE \cdot BD$

(3) $\triangle ABD$と$\triangle ECD$において、

円周角の定理より$\angle ABD = \angle ACD$（弧ADに対する円周角）

$\angle ADB = \angle ADE + \angle EDB$

$\angle EDC = \angle BDC - \angle EDB$

仮定より$\angle ADE = \angle BDC$なので、$\angle ADB = \angle EDC$

2角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABD \sim \triangle ECD$

(4) (3)より、$\triangle ABD \sim \triangle ECD$なので、対応する辺の比が等しい。

$\frac{AB}{EC} = \frac{BD}{CD}$

よって、$AB \cdot CD = EC \cdot BD$

(5) (2)と(4)の結果を使う。

$AB \cdot CD + AD \cdot BC = EC \cdot BD + AE \cdot BD = (EC + AE) \cdot BD = AC \cdot BD$

したがって、$AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle DAE \sim \triangle DBC$

(2) $AD \cdot BC = AE \cdot BD$

(3) $\triangle ABD \sim \triangle ECD$

(4) $AB \cdot CD = EC \cdot BD$

(5) $AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$