与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、2次式の部分 $2x^2 - 3xy - 2y^2$ を因数分解します。

$2x^2 - 3xy - 2y^2 = (2x + y)(x - 2y)$

次に、与えられた式全体が $(2x + y + a)(x - 2y + b)$ の形になると仮定して、$a$と$b$を求めます。展開すると、

$(2x + y + a)(x - 2y + b) = 2x^2 - 4xy + 2bx + xy - 2y^2 + by + ax - 2ay + ab$

$= 2x^2 - 3xy - 2y^2 + (2b + a)x + (b - 2a)y + ab$

この式と $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を比較すると、次の連立方程式が得られます。

$2b + a = 5$

$b - 2a = 5$

$ab = -3$

連立方程式を解きます。

$2b + a = 5$ より $a = 5 - 2b$

$b - 2(5 - 2b) = 5$

$b - 10 + 4b = 5$

$5b = 15$

$b = 3$

$a = 5 - 2(3) = 5 - 6 = -1$

$ab = (-1)(3) = -3$ なので、$a=-1$，$b=3$ で正しいです。

したがって、$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3 = (2x + y - 1)(x - 2y + 3)$

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(x - 2y + 3)$