与えられた多項式 $6x^2 + 5xy - 6y^2 + x - 5y - 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $6x^2 + 5xy - 6y^2 + x - 5y - 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての2次式と見て整理します。

$6x^2 + (5y+1)x - (6y^2+5y+1)$

次に、$6y^2 + 5y + 1$ を因数分解します。

$6y^2 + 5y + 1 = (2y+1)(3y+1)$

したがって、

$6x^2 + (5y+1)x - (2y+1)(3y+1)$

たすき掛けを用いて因数分解を試みます。

$6x^2 + (5y+1)x - (2y+1)(3y+1) = (ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になると予想します。

$6x^2$ の係数より、$6 = 3 \times 2$ と分解できるので、

$(3x + ay + b)(2x + cy + d)$ とします。

定数項は $- (2y+1)(3y+1)$ なので、この符号に注意して当てはまるように探します。

$6x^2 + 5xy - 6y^2 + x - 5y - 1$

$= (3x-2y+a)(2x+3y+b)$ とすると、

$(3x - 2y + 1)(2x + 3y - 1)$ を展開してみます。

$6x^2 + 9xy - 3x - 4xy - 6y^2 + 2y + 2x + 3y - 1 = 6x^2 + 5xy - 6y^2 - x + 5y - 1$

符号が違うので、

$(3x - 2y - 1)(2x + 3y + 1)$ を展開してみます。

$6x^2 + 9xy + 3x - 4xy - 6y^2 - 2y - 2x - 3y - 1 = 6x^2 + 5xy - 6y^2 + x - 5y - 1$

これは与式と一致します。

3. 最終的な答え

$(3x - 2y - 1)(2x + 3y + 1)$