$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。このとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。このとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ であることを利用する。

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta$ である。

次に、三角関数の基本的な恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いる。

$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{3}{4} \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{7}{4} \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{4}{7}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{4}{7}} = \pm \frac{2}{\sqrt{7}}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ なので、$\theta$ は第2象限の角であり、$\cos \theta < 0$ である。

したがって、$\cos \theta = -\frac{2}{\sqrt{7}} = -\frac{2\sqrt{7}}{7}$。

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \left(-\frac{2}{\sqrt{7}}\right) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

よって、$\cos \theta = \frac{-2\sqrt{7}}{7}$ および $\sin \theta = \frac{\sqrt{21}}{7}$ である。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{-2\sqrt{7}}{7}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{21}}{7}$