$\triangle ABC$ において、$\angle B = 22.5^\circ$, $\angle C = 90^\circ$, $AC = 1$ とする。$BC$ 上に $\angle ADC = 45^\circ$ となるように点 $D$ をとるとき、$DC$, $\angle DAB$, $AD$, $\tan 22.5^\circ$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$\angle B = 22.5^\circ$, $\angle C = 90^\circ$, $AC = 1$ とする。$BC$ 上に $\angle ADC = 45^\circ$ となるように点 $D$ をとるとき、$DC$, $\angle DAB$, $AD$, $\tan 22.5^\circ$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ADC$ において、$\angle C = 90^\circ$、$\angle ADC = 45^\circ$ であるから、$\angle DAC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ となります。したがって、$\triangle ADC$ は直角二等辺三角形であり、$AC = DC = 1$ となります。

次に、$\angle DAB = \angle CAB - \angle DAC$ を求めます。

$\angle CAB = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 22.5^\circ - 90^\circ = 67.5^\circ$

したがって、$\angle DAB = 67.5^\circ - 45^\circ = 22.5^\circ$ となります。

$\triangle ADC$ は直角二等辺三角形なので、$AD = \sqrt{AC^2 + DC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ となります。

最後に、$\tan 22.5^\circ$ を求めます。$\triangle ABD$ において、$AD = \sqrt{2}$、$\angle DAB = 22.5^\circ$、$\angle ABD = 22.5^\circ$ であるから、$\triangle ABD$ は二等辺三角形であり、$AD = BD = \sqrt{2}$ となります。

$BC = BD + DC = \sqrt{2} + 1$ であるから、

$\tan 22.5^\circ = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ となります。

これを有理化すると、

$\tan 22.5^\circ = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$ となります。

3. 最終的な答え

$DC = 1$

$\angle DAB = 22.5^\circ$

$AD = \sqrt{2}$

$\tan 22.5^\circ = \sqrt{2} - 1$