複素数平面上に、中心が $a$ で半径が $r$ の円 $C$ がある。ただし、$a$ は正の実数であり、$C$ は原点を通らないものとする。円 $C$ 上の点 $z$ に対して、$w = \frac{1}{z}$ となる点 $w$ の軌跡 $C'$ を考える。 (1) $C'$ が円であることを示し、$C'$ の中心と半径を $a$ と $r$ で表せ。 (2) $C$ と $C'$ が一致するとき、$C$ の中心 $a$ が実軸上または虚軸上にあることを示せ。

1. 問題の内容

複素数平面上に、中心が $a$ で半径が $r$ の円 $C$ がある。ただし、$a$ は正の実数であり、$C$ は原点を通らないものとする。円 $C$ 上の点 $z$ に対して、$w = \frac{1}{z}$ となる点 $w$ の軌跡 $C'$ を考える。

(1) $C'$ が円であることを示し、$C'$ の中心と半径を $a$ と $r$ で表せ。

(2) $C$ と $C'$ が一致するとき、$C$ の中心 $a$ が実軸上または虚軸上にあることを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

円 $C$ の方程式は、$|z - a| = r$ であり、$z \neq 0$。

$w = \frac{1}{z}$ より、$z = \frac{1}{w}$。これを円 $C$ の方程式に代入すると、

$|\frac{1}{w} - a| = r$

$|1 - aw| = r|w|$

$|w - \frac{1}{a}| = \frac{r}{|a|}|w|$

$|w - \frac{1}{a}|^2 = \frac{r^2}{a^2}|w|^2$

$(w - \frac{1}{a})(\overline{w} - \frac{1}{a}) = \frac{r^2}{a^2}w\overline{w}$

$w\overline{w} - \frac{1}{a}(w + \overline{w}) + \frac{1}{a^2} = \frac{r^2}{a^2}w\overline{w}$

$(1 - \frac{r^2}{a^2})w\overline{w} - \frac{1}{a}(w + \overline{w}) + \frac{1}{a^2} = 0$

ここで、$1 - \frac{r^2}{a^2} \neq 0$ なので、$a \neq r$。

$w\overline{w} - \frac{1}{a(1 - \frac{r^2}{a^2})}(w + \overline{w}) + \frac{1}{a^2(1 - \frac{r^2}{a^2})} = 0$

$w\overline{w} - \frac{a}{a^2 - r^2}(w + \overline{w}) + \frac{1}{a^2 - r^2} = 0$

$w\overline{w} - \frac{a}{a^2 - r^2}(w + \overline{w}) + (\frac{a}{a^2 - r^2})^2 = (\frac{a}{a^2 - r^2})^2 - \frac{1}{a^2 - r^2}$

$(w - \frac{a}{a^2 - r^2})(\overline{w} - \frac{a}{a^2 - r^2}) = \frac{a^2}{(a^2 - r^2)^2} - \frac{a^2 - r^2}{(a^2 - r^2)^2} = \frac{r^2}{(a^2 - r^2)^2}$

$|w - \frac{a}{a^2 - r^2}|^2 = \frac{r^2}{(a^2 - r^2)^2}$

$|w - \frac{a}{a^2 - r^2}| = \frac{r}{|a^2 - r^2|}$

これは中心 $\frac{a}{a^2 - r^2}$、半径 $\frac{r}{|a^2 - r^2|}$ の円を表す。

(2)

$C$ と $C'$ が一致するとき、円の中心と半径が一致する。

$\frac{a}{a^2 - r^2} = a$

$\frac{r}{|a^2 - r^2|} = r$

$a^2 - r^2 = 1$ かつ $|a^2 - r^2| = 1$

$a^2 - r^2 = 1$

$r^2 = a^2 - 1$

$C$ と $C'$ が一致するとき、$a$ は実数より、$r$ は実数なので、$a^2 \ge 1$。

中心が実軸上にあり、$a$。

$a = bi$ (純虚数) の場合、$|z - bi| = r$ となる。

$z = \frac{1}{w}$ より、$|\frac{1}{w} - bi| = r$

$|1 - biw| = r|w|$

$|w + \frac{i}{b}| = \frac{r}{|b|}|w|$

$|w + \frac{i}{b}|^2 = \frac{r^2}{b^2}|w|^2$

$(w + \frac{i}{b})(\overline{w} - \frac{i}{b}) = \frac{r^2}{b^2}w\overline{w}$

$w\overline{w} + \frac{i}{b}(\overline{w} - w) + \frac{1}{b^2} = \frac{r^2}{b^2}w\overline{w}$

$(1 - \frac{r^2}{b^2})w\overline{w} + \frac{i}{b}(\overline{w} - w) + \frac{1}{b^2} = 0$

$(1 - \frac{r^2}{b^2})w\overline{w} - \frac{2}{b}Im(w) + \frac{1}{b^2} = 0$

円 $C$ が円 $C'$ に一致するためには、上記が円になる必要がある。

中心を $bi$ としたとき、$|z - bi| = r$。CとC'が一致するためには、$|w + i/b| = \frac{r}{|b|}|w|$ は、$|z - bi| = r$ と同値である。

中心 $\frac{bi}{b^2+r^2} = bi$ になる必要があり、半径は $\frac{r}{|b^2-r^2|}=r$

なので$b^2+r^2 = 1$かつ$r$が実数である

3. 最終的な答え

(1) $C'$ は中心 $\frac{a}{a^2 - r^2}$、半径 $\frac{r}{|a^2 - r^2|}$ の円である。

(2) $C$ と $C'$ が一致するとき、$a$ が実数の場合は実軸上にあり、$C$の中心が純虚数の場合は虚軸上にある。したがって、$C$ の中心 $a$ は実軸上または虚軸上にある。