任意の実数 $k$ に対して、$(ka, b) = k(a, b)$ が成り立つことを示す問題です。ただし、$ka$ は幾何ベクトル $a$ の定数倍であり、内積 $(a, b) = |a||b|\cos\theta$ を利用します。

1. 問題の内容

任意の実数 $k$ に対して、$(ka, b) = k(a, b)$ が成り立つことを示す問題です。ただし、$ka$ は幾何ベクトル $a$ の定数倍であり、内積 $(a, b) = |a||b|\cos\theta$ を利用します。

2. 解き方の手順

まず、$k > 0$ の場合、$ka$ は $a$ と同じ方向で、大きさは $|a|$ の $k$ 倍です。したがって、

$|ka| = k|a|$

であり、$ka$ と $b$ のなす角は $a$ と $b$ のなす角と同じなので、$\theta$ となります。

よって、内積の定義より、

$(ka, b) = |ka||b|\cos\theta = (k|a|)|b|\cos\theta = k(|a||b|\cos\theta) = k(a, b)$

次に、$k = 0$ の場合、$ka = 0$ なので、$(ka, b) = (0, b) = 0$ となります。

また、$k(a, b) = 0(a, b) = 0$ なので、$(ka, b) = k(a, b)$ が成り立ちます。

最後に、$k < 0$ の場合、$ka$ は $a$ と反対の方向で、大きさは $|a|$ の $-k$ 倍です。したがって、

$|ka| = -k|a|$

であり、$ka$ と $b$ のなす角は $a$ と $b$ のなす角に対して $\pi$ だけ異なります。したがって、$ka$ と $b$ のなす角は $\theta + \pi$ となります。

よって、内積の定義より、

$(ka, b) = |ka||b|\cos(\theta + \pi) = (-k|a|)|b|\cos(\theta + \pi) = -k(|a||b|\cos(\theta + \pi))$

ここで、$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$ であるから、

$(ka, b) = -k(|a||b|(-\cos\theta)) = k(|a||b|\cos\theta) = k(a, b)$

したがって、任意の実数 $k$ に対して、$(ka, b) = k(a, b)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

任意の実数 $k$ に対して、$(ka, b) = k(a, b)$ が成り立つ。