複素数平面上で、点 $\alpha$ を中心とする半径 $r$ の円 $C$ がある。ただし、$C$ は原点を通らないものとする。点 $z$ が円 $C$ 上を動くとき、点 $w = \frac{1}{z}$ の描く図形を $C'$ とする。 (1) $C'$ は円であることを示し、$C'$ の中心と半径を $\alpha$ と $r$ で表せ。 (2) $C$ と $C'$ が一致するとき、$C$ の中心 $\alpha$ は実軸上または虚軸上にあることを示せ。

1. 問題の内容

複素数平面上で、点 $\alpha$ を中心とする半径 $r$ の円 $C$ がある。ただし、$C$ は原点を通らないものとする。点 $z$ が円 $C$ 上を動くとき、点 $w = \frac{1}{z}$ の描く図形を $C'$ とする。

(1) $C'$ は円であることを示し、$C'$ の中心と半径を $\alpha$ と $r$ で表せ。

(2) $C$ と $C'$ が一致するとき、$C$ の中心 $\alpha$ は実軸上または虚軸上にあることを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

$z$ は中心 $\alpha$, 半径 $r$ の円 $C$ 上の点なので、

$|z - \alpha| = r$ を満たす。

$w = \frac{1}{z}$ より $z = \frac{1}{w}$ であるから、これを代入すると

$|\frac{1}{w} - \alpha| = r$

$|\frac{1 - \alpha w}{w}| = r$

$|1 - \alpha w| = r|w|$

$|-\alpha(w - \frac{1}{\alpha})| = r|w|$

$|\alpha(w - \frac{1}{\alpha})| = r|w|$

$|\alpha||w - \frac{1}{\alpha}| = r|w|$

$|w - \frac{1}{\alpha}| = \frac{r}{|\alpha|}|w|$

$|w - \frac{1}{\alpha}|^2 = \frac{r^2}{|\alpha|^2}|w|^2$

$(w - \frac{1}{\alpha})(\overline{w} - \frac{1}{\overline{\alpha}}) = \frac{r^2}{|\alpha|^2}w\overline{w}$

$w\overline{w} - \frac{w}{\overline{\alpha}} - \frac{\overline{w}}{\alpha} + \frac{1}{\alpha\overline{\alpha}} = \frac{r^2}{|\alpha|^2}w\overline{w}$

$(1 - \frac{r^2}{|\alpha|^2})w\overline{w} - \frac{w}{\overline{\alpha}} - \frac{\overline{w}}{\alpha} + \frac{1}{|\alpha|^2} = 0$

$w\overline{w} - \frac{w}{\overline{\alpha}(1 - \frac{r^2}{|\alpha|^2})} - \frac{\overline{w}}{\alpha(1 - \frac{r^2}{|\alpha|^2})} + \frac{1}{|\alpha|^2(1 - \frac{r^2}{|\alpha|^2})} = 0$

$w\overline{w} - \frac{w\alpha}{|\alpha|^2 - r^2} - \frac{\overline{w}\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2} + \frac{1}{|\alpha|^2 - r^2} = 0$

$w\overline{w} - \frac{w\alpha + \overline{w}\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2} + (\frac{\alpha \overline{\alpha}}{(|\alpha|^2 - r^2)^2} - \frac{\alpha \overline{\alpha}}{(|\alpha|^2 - r^2)^2}) + \frac{1}{|\alpha|^2 - r^2} = 0$

$(w - \frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2})(\overline{w} - \frac{\alpha}{|\alpha|^2 - r^2}) = \frac{\alpha\overline{\alpha}}{(|\alpha|^2 - r^2)^2} - \frac{1}{|\alpha|^2 - r^2}$

$|w - \frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2}|^2 = \frac{|\alpha|^2 - (|\alpha|^2 - r^2)}{(|\alpha|^2 - r^2)^2} = \frac{r^2}{(|\alpha|^2 - r^2)^2}$

$|w - \frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2}| = \frac{r}{||\alpha|^2 - r^2|}$

したがって、$C'$ は中心 $\frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2}$, 半径 $\frac{r}{||\alpha|^2 - r^2|}$ の円である。

(2)

$C$ と $C'$ が一致するとき、中心と半径がそれぞれ等しい。

$\alpha = \frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2}$

$r = \frac{r}{||\alpha|^2 - r^2|}$

$|\alpha|^2 - r^2 = \pm 1$ であるから、$|\alpha|^2 = r^2 \pm 1$

$\alpha = \overline{\alpha}$ または $\alpha = -\overline{\alpha}$ の場合を考える。

$\alpha = \overline{\alpha}$ のとき、$\alpha$ は実数である。

$\alpha = -\overline{\alpha}$ のとき、$\alpha$ は純虚数である。

$\alpha (|\alpha|^2 - r^2) = \overline{\alpha}$

$\alpha = a + bi$ とおくと、

$(a + bi)(a^2 + b^2 - r^2) = a - bi$

$a(a^2 + b^2 - r^2) = a$

$b(a^2 + b^2 - r^2) = -b$

$a(a^2 + b^2 - r^2 - 1) = 0$

$b(a^2 + b^2 - r^2 + 1) = 0$

(i) $a = 0$ のとき、$b(b^2 - r^2 + 1) = 0$

$b = 0$ または $b^2 = r^2 - 1$

$b = 0$ ならば $\alpha = 0$ となり、これは $C$ が原点を通らないという条件に反する。

したがって、$a=0$ ならば $\alpha$ は虚軸上にある。

(ii) $b = 0$ のとき、$a(a^2 - r^2 - 1) = 0$

$a = 0$ または $a^2 = r^2 + 1$

$a=0$ ならば $\alpha = 0$ となり、これは $C$ が原点を通らないという条件に反する。

したがって、$b=0$ ならば $\alpha$ は実軸上にある。

3. 最終的な答え

(1) $C'$ は中心 $\frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2}$, 半径 $\frac{r}{||\alpha|^2 - r^2|}$ の円である。

(2) $C$ の中心 $\alpha$ は実軸上または虚軸上にある。