縦 $p$ m、横 $q$ m の長方形の土地の周囲に幅 $a$ m の道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線全体の長さを $l$ m とするとき、$S = al$ であることを証明する。

1. 問題の内容

縦 $p$ m、横 $q$ m の長方形の土地の周囲に幅 $a$ m の道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線全体の長さを $l$ m とするとき、$S = al$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

* 道の面積 $S$ を求める。外側の長方形の面積から内側の長方形の面積を引くことで求められる。外側の長方形の縦は $p + 2a$、横は $q + 2a$ なので、

$S = (p + 2a)(q + 2a) - pq$

$= pq + 2ap + 2aq + 4a^2 - pq$

$= 2ap + 2aq + 4a^2$

* 道の真ん中を通る線全体の長さ $l$ を求める。道の真ん中を通る長方形の縦は $p + a$、横は $q + a$ なので、

$l = 2(p + a) + 2(q + a)$

$= 2p + 2a + 2q + 2a$

$= 2p + 2q + 4a$

* $al$ を計算する。

$al = a(2p + 2q + 4a)$

$= 2ap + 2aq + 4a^2$

* $S$ と $al$ の式を比較すると、$S = al$ が成り立つことがわかる。

3. 最終的な答え

$S = 2ap + 2aq + 4a^2$

$l = 2p + 2q + 4a$

$al = 2ap + 2aq + 4a^2$

よって、$S = al$ である。