複素数平面において、点$\alpha$を中心とする半径$r$の円$C$がある。ただし、$C$は原点を通らない。点$z$が円$C$上を動くとき、点$w = \frac{1}{z}$の描く図形を$C'$とする。 (1) $C'$は円であることを示し、$C'$の中心と半径を$\alpha$と$r$で表せ。 (2) $C$と$C'$が一致するとき、$C$の中心$\alpha$は実軸上または虚軸上にあることを示せ。

1. 問題の内容

複素数平面において、点$\alpha$を中心とする半径$r$の円$C$がある。ただし、$C$は原点を通らない。点$z$が円$C$上を動くとき、点$w = \frac{1}{z}$の描く図形を$C'$とする。

(1) $C'$は円であることを示し、$C'$の中心と半径を$\alpha$と$r$で表せ。

(2) $C$と$C'$が一致するとき、$C$の中心$\alpha$は実軸上または虚軸上にあることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) $z$が円$C$上を動くとき、$|z - \alpha| = r$である。$w = \frac{1}{z}$より、$z = \frac{1}{w}$であるから、

$|\frac{1}{w} - \alpha| = r$

$|\frac{1 - \alpha w}{w}| = r$

$|1 - \alpha w| = r|w|$

$|w - \frac{1}{\alpha}| = r|\frac{w}{\alpha}|$

$|w - \frac{1}{\alpha}|^2 = r^2 \frac{|w|^2}{|\alpha|^2}$

$(w - \frac{1}{\alpha})(\overline{w} - \frac{1}{\overline{\alpha}}) = r^2 \frac{w \overline{w}}{|\alpha|^2}$

$w \overline{w} - \frac{w}{\overline{\alpha}} - \frac{\overline{w}}{\alpha} + \frac{1}{|\alpha|^2} = r^2 \frac{w \overline{w}}{|\alpha|^2}$

$w \overline{w} - \frac{w}{\overline{\alpha}} - \frac{\overline{w}}{\alpha} + \frac{1}{|\alpha|^2} - \frac{r^2}{|\alpha|^2} w \overline{w} = 0$

$(1 - \frac{r^2}{|\alpha|^2}) w \overline{w} - \frac{w}{\overline{\alpha}} - \frac{\overline{w}}{\alpha} + \frac{1}{|\alpha|^2} = 0$

$w \overline{w} - \frac{1}{1 - \frac{r^2}{|\alpha|^2}} \frac{w}{\overline{\alpha}} - \frac{1}{1 - \frac{r^2}{|\alpha|^2}} \frac{\overline{w}}{\alpha} + \frac{1}{|\alpha|^2 (1 - \frac{r^2}{|\alpha|^2})} = 0$

$w \overline{w} - \frac{|\alpha|^2}{|\alpha|^2 - r^2} \frac{w}{\overline{\alpha}} - \frac{|\alpha|^2}{|\alpha|^2 - r^2} \frac{\overline{w}}{\alpha} + \frac{1}{|\alpha|^2 - r^2} = 0$

$w \overline{w} - \frac{|\alpha|^2}{\overline{\alpha} (|\alpha|^2 - r^2)} w - \frac{|\alpha|^2}{\alpha (|\alpha|^2 - r^2)} \overline{w} + \frac{|\alpha|^4}{|\alpha|^2 (|\alpha|^2 - r^2)^2} - \frac{|\alpha|^4}{|\alpha|^2 (|\alpha|^2 - r^2)^2} + \frac{1}{|\alpha|^2 - r^2} = 0$

$(w - \frac{|\alpha|^2}{\alpha (|\alpha|^2 - r^2)}) (\overline{w} - \frac{|\alpha|^2}{\overline{\alpha} (|\alpha|^2 - r^2)}) = \frac{|\alpha|^4}{(|\alpha|^2 - r^2)^2 |\alpha|^2} - \frac{1}{r^2 - |\alpha|^2}$

$|w - \frac{|\alpha|^2}{\alpha (|\alpha|^2 - r^2)}|^2 = \frac{|\alpha|^2}{(|\alpha|^2 - r^2)^2} - \frac{1}{|\alpha|^2 - r^2} + \frac{1}{|\alpha|^2-r^2} + \frac{r^2}{(\alpha^2 - r^2)^2 - |\alpha|^2} = \frac{|\alpha|^2 - (|\alpha|^2 - r^2)}{(|\alpha|^2 - r^2)^2} = \frac{r^2}{(|\alpha|^2 - r^2)^2}$

したがって、$|w - \frac{|\alpha|^2}{\alpha (|\alpha|^2 - r^2)}| = \frac{r}{||\alpha|^2 - r^2|}$であり、$C'$は中心$\frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2}$、半径$\frac{r}{||\alpha|^2 - r^2|}$の円である。

(2) $C$と$C'$が一致するとき、中心と半径がそれぞれ一致する必要がある。

$\alpha = \frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2}$かつ$r = \frac{r}{||\alpha|^2 - r^2|}$である。

$||\alpha|^2 - r^2| = 1$より、$|\alpha|^2 - r^2 = 1$または$|\alpha|^2 - r^2 = -1$である。

$\alpha = \overline{\alpha} / (|\alpha|^2 - r^2)$より、$\alpha (|\alpha|^2 - r^2) = \overline{\alpha}$である。

したがって、$\alpha = \overline{\alpha}$または$\alpha = -\overline{\alpha}$である。

$\alpha = \overline{\alpha}$のとき、$\alpha$は実数である。

$\alpha = -\overline{\alpha}$のとき、$\alpha$は純虚数である。

したがって、$C$の中心$\alpha$は実軸上または虚軸上にある。

3. 最終的な答え

(1) $C'$は円であり、中心は$\frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2}$、半径は$\frac{r}{||\alpha|^2 - r^2|}$である。

(2) $C$と$C'$が一致するとき、$C$の中心$\alpha$は実軸上または虚軸上にある。