平行な2直線 $l$ と $m$ 、正五角形ABCDEが与えられている。点Aは直線 $l$ 上に、点Cは直線 $m$ 上にある。点F,Gはそれぞれ直線 $l$, $m$ 上にあり、$\angle GCB$ の大きさが $\angle FAE$ の大きさの $\frac{5}{2}$ 倍であるとき、$\angle FAE$ の大きさを求める。

1. 問題の内容

平行な2直線 $l$ と $m$ 、正五角形ABCDEが与えられている。点Aは直線 $l$ 上に、点Cは直線 $m$ 上にある。点F,Gはそれぞれ直線 $l$, $m$ 上にあり、$\angle GCB$ の大きさが $\angle FAE$ の大きさの $\frac{5}{2}$ 倍であるとき、$\angle FAE$ の大きさを求める。

2. 解き方の手順

正五角形の内角の和は、$(5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$ なので、1つの内角は $540^\circ \div 5 = 108^\circ$ である。

$\angle FAE$ を $x$ とおくと、$\angle GCB$ は $\frac{5}{2} x$ と表せる。

$l$ と $m$ は平行なので、$\angle ABC + \angle GCB = 180^\circ$ および $\angle BAE + \angle FAE = 180^\circ$ が成り立つ。

よって、$\angle ABC = 108^\circ$ より、

$108^\circ + \frac{5}{2}x = 180^\circ$

$\frac{5}{2}x = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$

$x = \frac{2}{5} \times 72^\circ = \frac{144}{5}^\circ = 28.8^\circ$

一方、$\angle BAE = 108^\circ$ より、

$108^\circ + x = 180^\circ$

$x = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$

$\angle GCB = \frac{5}{2}x = \frac{5}{2} \times x = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$

より $\angle GCB = \frac{5}{2}x$ なので、$x = 2 \times 72 / 5 = 144/5 = 28.8$

錯角は等しいので、

$\angle GCB + \angle ABC = 180^\circ$ であり、$m$と$l$ が平行であるため、$\angle GCB = \frac{5}{2}\angle FAE$ が成り立つ。

$\angle ABC = 108^\circ$ より $\frac{5}{2}\angle FAE = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$ となり、 $\angle FAE = 72 \times \frac{2}{5} = 28.8^\circ$

また $\angle EAF + \angle BAE = 180^\circ$ より $\angle EAF = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$ である。

3. 最終的な答え

$\angle FAE = 36^\circ$

$\angle GCB = \frac{5}{2} \times 36 = 90$

$180 - 108 = 72$.

∠FAE の大きさは、$36^\circ$