複素数平面上に点$\alpha$を中心とする半径$r$の円$C$がある。ただし、$C$は原点を通らないとする。点$z$が円$C$上を動くとき、点$w = \frac{1}{z}$の描く図形を$C'$とする。 (1) $C'$は円であることを示し、さらに$C'$の中心と半径を$\alpha$と$r$で表せ。 (2) $C$と$C'$が一致するとき、$C$の中心$\alpha$は実軸上または虚軸上にあることを示せ。

1. 問題の内容

複素数平面上に点$\alpha$を中心とする半径$r$の円$C$がある。ただし、$C$は原点を通らないとする。点$z$が円$C$上を動くとき、点$w = \frac{1}{z}$の描く図形を$C'$とする。

(1) $C'$は円であることを示し、さらに$C'$の中心と半径を$\alpha$と$r$で表せ。

(2) $C$と$C'$が一致するとき、$C$の中心$\alpha$は実軸上または虚軸上にあることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) $C$は$|z - \alpha| = r$で表される。$w = \frac{1}{z}$より、$z = \frac{1}{w}$であるから、これを円$C$の方程式に代入すると

$$|\frac{1}{w} - \alpha| = r$$

$$|\frac{1 - \alpha w}{w}| = r$$

$$|1 - \alpha w| = r|w|$$

$$|1 - \alpha w|^2 = r^2 |w|^2$$

$$(1 - \alpha w)(\overline{1 - \alpha w}) = r^2 w \overline{w}$$

$$(1 - \alpha w)(1 - \overline{\alpha} \overline{w}) = r^2 w \overline{w}$$

$$1 - \alpha w - \overline{\alpha} \overline{w} + \alpha \overline{\alpha} w \overline{w} = r^2 w \overline{w}$$

$$1 - \alpha w - \overline{\alpha} \overline{w} + |\alpha|^2 w \overline{w} = r^2 w \overline{w}$$

$$(|\alpha|^2 - r^2) w \overline{w} - \alpha w - \overline{\alpha} \overline{w} + 1 = 0$$

$|\alpha|^2 - r^2 \ne 0$であるから、

$$w \overline{w} - \frac{\alpha}{|\alpha|^2 - r^2} w - \frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2} \overline{w} + \frac{1}{|\alpha|^2 - r^2} = 0$$

$$\left( w - \frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2} \right) \left( \overline{w} - \frac{\alpha}{|\alpha|^2 - r^2} \right) = \frac{\alpha \overline{\alpha}}{(|\alpha|^2 - r^2)^2} - \frac{1}{|\alpha|^2 - r^2}$$

$$\left| w - \frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2} \right|^2 = \frac{|\alpha|^2 - (|\alpha|^2 - r^2)}{(|\alpha|^2 - r^2)^2} = \frac{r^2}{(|\alpha|^2 - r^2)^2}$$

$$\left| w - \frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2} \right| = \frac{r}{||\alpha|^2 - r^2|}$$

これは中心$\frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2}$、半径$\frac{r}{||\alpha|^2 - r^2|}$の円を表す。

(2) $C$と$C'$が一致するとき、中心と半径が一致する。

$$\alpha = \frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2}$$

$$r = \frac{r}{||\alpha|^2 - r^2|}$$

$$|\alpha|^2 - r^2 = \pm 1$$

$|\alpha|^2 - r^2 = 1$のとき、$\alpha = \overline{\alpha}$より$\alpha$は実数。

$|\alpha|^2 - r^2 = -1$のとき、$\alpha = -\overline{\alpha}$より$\alpha$は純虚数。

したがって、$\alpha$は実軸上または虚軸上にある。

3. 最終的な答え

(1) $C'$は中心$\frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2 - r^2}$、半径$\frac{r}{||\alpha|^2 - r^2|}$の円である。

(2) $C$と$C'$が一致するとき、$C$の中心$\alpha$は実軸上または虚軸上にある。