中心角が $\frac{\pi}{3}$ の扇形OABに内接する長方形PQRSを考える。OA=1とする。 (1) $\angle AOP = \theta$ とするとき、RSの長さを$\theta$を用いて表す。 (2)長方形PQRSの面積Sの最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

中心角が $\frac{\pi}{3}$ の扇形OABに内接する長方形PQRSを考える。OA=1とする。

(1) $\angle AOP = \theta$ とするとき、RSの長さを$\theta$を用いて表す。

(2)長方形PQRSの面積Sの最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) RSの長さを求める。

OA = 1であり、$\angle AOP = \theta$なので、OS = $cos\theta$, PS = $sin\theta$となる。

したがって、RS = OR = OA - OS = 1 - $cos\theta$。

ゆえに、RS = $1-cos\theta$。

(2) 長方形PQRSの面積Sの最大値を求める。

長方形PQRSの面積Sは、S = RS * PS = $(1-cos\theta)sin\theta$。

$S = (1-cos\theta)sin\theta$ を最大化するために、微分を行う。

$\frac{dS}{d\theta} = (1-cos\theta)cos\theta + sin\theta (sin\theta) = cos\theta - cos^2\theta + sin^2\theta = cos\theta - cos^2\theta + (1-cos^2\theta) = cos\theta - 2cos^2\theta + 1$

$\frac{dS}{d\theta} = 0$ となる$\theta$を求める。

$cos\theta - 2cos^2\theta + 1 = 0$

$2cos^2\theta - cos\theta - 1 = 0$

$(2cos\theta + 1)(cos\theta - 1) = 0$

$cos\theta = -\frac{1}{2}$ または $cos\theta = 1$

$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$なので、$cos\theta = -\frac{1}{2}$は不適。よって、$cos\theta = 1$は不適。

ただし$\theta$の範囲を考慮すると、$cos\theta = -1/2$は$\theta = 2\pi/3$であり、今回の範囲ではないので、$\theta$の定義域を考慮に入れる必要がある。

$\theta = \frac{2\pi}{3}$

$x = cos\theta$とおくと、$S = (1-x)\sqrt{1-x^2} = \sqrt{(1-x)^2(1-x^2)} = \sqrt{(1-x)^3(1+x)}$

$dS/dx = 0$となるxを求める。

$S^2 = (1-x)^3(1+x) = (1-2x+x^2)(1-x+x^2-x^3) = 1 -2x+x^2+x-2x^2+x^3-x^3-1+x$

$2cos^2\theta-cos\theta-1 = 0 \implies (2cos\theta+1)(cos\theta-1) = 0$

したがって$cos\theta=1 or cos\theta = -\frac{1}{2}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$の範囲においてcosθ=-1/2を満たす$\theta$は存在しない

傾きを調べる

cosθ=1を満たす場合は$\theta = 0$

cosθが1/2に近づくとき、

$\theta = \pi/3$なので

S=$sin(\pi/3)(1-cos(\pi/3)) = \sqrt{3}/2(1-1/2)=\sqrt{3}/4 = 0.433$

$\theta = \frac{\pi}{3}$のとき、S=0.433

また$\frac{dS}{d\theta} = cos\theta-2cos^2\theta + 1$なので$\frac{d^2S}{d\theta^2} = -sin\theta+4cos\theta sin\theta=sin\theta(4cos\theta-1)$

とおくと、$cos\theta=-\frac{1}{2}$

したがって $sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$となるので

$S = (1+\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} > 1$

$\frac{dS}{d\theta} = 0$のとき$cos\theta= \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{4} = \frac{1\pm3}{4}$

cosθ=1は定義域外なので$cos\theta=-\frac{1}{2}$

$\theta = \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) RS = $1 - cos\theta$

(2) Sの最大値: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$、$\theta = \frac{\pi}{3}$