四角形ABCDが円に内接しており、$AB=8$, $CD=DA=5$, $\angle BAD = 60^\circ$である。対角線ACとBDの交点をEとするとき、以下の値を求める問題です。 (1) BD (2) BC (3) 円Oの半径R (4) BE:ED

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接しており、$AB=8$, $CD=DA=5$, $\angle BAD = 60^\circ$である。対角線ACとBDの交点をEとするとき、以下の値を求める問題です。

(1) BD

(2) BC

(3) 円Oの半径R

(4) BE:ED

2. 解き方の手順

(1) BDを求める。

$\triangle ABD$において、余弦定理を用いる。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos{\angle BAD}$

$BD^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cos{60^\circ}$

$BD^2 = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = 89 - 40 = 49$

$BD = 7$

(2) BCを求める。

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\triangle ACD$は$CD=DA=5$の二等辺三角形なので、$\angle CAD = \angle ACD = \frac{180^\circ - \angle ADC}{2}$。

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$なので、

また、$\triangle BCD$において余弦定理を用いる。

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC \cdot CD \cos{\angle BCD}$

$7^2 = BC^2 + 5^2 - 2BC \cdot 5 \cos{120^\circ}$

$49 = BC^2 + 25 - 10BC \cdot (-\frac{1}{2})$

$49 = BC^2 + 25 + 5BC$

$BC^2 + 5BC - 24 = 0$

$(BC + 8)(BC - 3) = 0$

$BC = -8, 3$

$BC > 0$より、$BC=3$

(3) 円Oの半径Rを求める。

$\triangle ABD$において、正弦定理を用いる。

$\frac{BD}{\sin{\angle BAD}} = 2R$

$\frac{7}{\sin{60^\circ}} = 2R$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{14}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(4) BE:EDを求める。

$\triangle ABE$と$\triangle CDE$において、

$\angle BAE = \angle DCE$ (円周角)

$\angle ABE = \angle CDE$ (円周角)

よって、$\triangle ABE \sim \triangle CDE$

$\frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD} = \frac{8}{5}$

$BE:ED = 8:5$

3. 最終的な答え

(1) $BD = 7$

(2) $BC = 3$

(3) $R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(4) $BE:ED = 8:5$