$\theta$ の範囲が $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、以下の三角関数の方程式または不等式を解く問題です。 (1) $-\sqrt{2} \sin\theta = 1$ (2) $\tan\theta = \sqrt{3}$ (3) $\cos\theta \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (4) $2\sin\theta < -1$

1. 問題の内容

$\theta$ の範囲が $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、以下の三角関数の方程式または不等式を解く問題です。

(1) $-\sqrt{2} \sin\theta = 1$

(2) $\tan\theta = \sqrt{3}$

(3) $\cos\theta \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) $2\sin\theta < -1$

2. 解き方の手順

(1) $-\sqrt{2} \sin\theta = 1$ より、

$\sin\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

単位円上で $\sin\theta$ が $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ は、$\frac{5\pi}{4}$ と $\frac{7\pi}{4}$ です。

(2) $\tan\theta = \sqrt{3}$

単位円上で $\tan\theta$ が $\sqrt{3}$ となる $\theta$ は、$\frac{\pi}{3}$ と $\frac{4\pi}{3}$ です。

(3) $\cos\theta \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$

単位円上で $\cos\theta$ が $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 以上となる $\theta$ の範囲を求めます。$\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$\frac{5\pi}{6}$ と $\frac{7\pi}{6}$ です。したがって、$\frac{7\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}$を満たす$\theta$を考えると、$\cos\theta \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$となる範囲は、$0\leq\theta\leq\frac{5\pi}{6}$または$\frac{7\pi}{6}\leq\theta<2\pi$です。

(4) $2\sin\theta < -1$ より、

$\sin\theta < -\frac{1}{2}$

単位円上で $\sin\theta$ が $-\frac{1}{2}$ より小さくなる $\theta$ の範囲を求めます。$\sin\theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\frac{7\pi}{6}$ と $\frac{11\pi}{6}$ です。したがって、$\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

(3) $0 \le \theta \le \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} \le \theta < 2\pi$

(4) $\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$