三角形ABCにおいて、以下の2つのケースで、残りの辺の長さと角度を求めます。 (1) $b = \sqrt{6}$, $c = \sqrt{3} - 1$, $A = 45^\circ$ のとき、$a, B, C$ を求めます。 (2) $a = 4$, $b = 2(\sqrt{3} - 1)$, $c = 2\sqrt{2}$ のとき、$A, B, C$ を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の2つのケースで、残りの辺の長さと角度を求めます。

(1) $b = \sqrt{6}$, $c = \sqrt{3} - 1$, $A = 45^\circ$ のとき、$a, B, C$ を求めます。

(2) $a = 4$, $b = 2(\sqrt{3} - 1)$, $c = 2\sqrt{2}$ のとき、$A, B, C$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ なので、

$a^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3} - 1)^2 - 2\sqrt{6}(\sqrt{3} - 1) \cos 45^\circ$

$a^2 = 6 + 3 - 2\sqrt{3} + 1 - 2\sqrt{6}(\sqrt{3} - 1) \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 10 - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} (\sqrt{3} - 1) \times 2$

$a^2 = 10 - 2\sqrt{3} - 2(3 - \sqrt{3})$

$a^2 = 10 - 2\sqrt{3} - 6 + 2\sqrt{3} = 4$

$a = 2$

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ なので、

$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{\sqrt{6} \sin 45^\circ}{2} = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$B = 60^\circ$ または $B = 120^\circ$

$A + B + C = 180^\circ$ より、$C = 180^\circ - A - B$ なので、

$C = 180^\circ - 45^\circ - B = 135^\circ - B$

$B = 60^\circ$ のとき、$C = 135^\circ - 60^\circ = 75^\circ$

$B = 120^\circ$ のとき、$C = 135^\circ - 120^\circ = 15^\circ$

$c < b$ より、$C < B$ なので、$B=120^\circ$は不適。

したがって、$B=60^\circ, C=75^\circ$

(2)

余弦定理より、$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ なので、

$\cos A = \frac{[2(\sqrt{3} - 1)]^2 + (2\sqrt{2})^2 - 4^2}{2[2(\sqrt{3} - 1)](2\sqrt{2})} = \frac{4(3 - 2\sqrt{3} + 1) + 8 - 16}{8\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)}$

$\cos A = \frac{16 - 8\sqrt{3} + 8 - 16}{8\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)} = \frac{8 - 8\sqrt{3}}{8\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)} = \frac{8(1 - \sqrt{3})}{8\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$A = 135^\circ$

余弦定理より、$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$ なので、

$\cos B = \frac{(2\sqrt{2})^2 + 4^2 - [2(\sqrt{3} - 1)]^2}{2(2\sqrt{2})(4)} = \frac{8 + 16 - 4(3 - 2\sqrt{3} + 1)}{16\sqrt{2}} = \frac{24 - 16 + 8\sqrt{3}}{16\sqrt{2}} = \frac{8 + 8\sqrt{3}}{16\sqrt{2}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

$\cos B = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

よって、$B=45^\circ-(30^\circ-45^\circ)=15^\circ$

$A+B+C=180^{\circ}$より、

$C=180^\circ -135^\circ -15^\circ =30^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, $B = 60^\circ$, $C = 75^\circ$

(2) $A = 135^\circ$, $B = 15^\circ$, $C = 30^\circ$