$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ のとき、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ のとき、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ の値を求めます。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ の関係から、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より、$\cos \alpha < 0$ なので、

$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\sin 2\alpha$ の値を求めます。

2倍角の公式 $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ を用いると、

$\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{3}) = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

最後に、$\cos 2\alpha$ の値を求めます。

2倍角の公式 $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ を用いると、

$\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot (\frac{2}{3})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{4}{9} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

$\sin 2\alpha = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

$\cos 2\alpha = \frac{1}{9}$