5桁の自然数 $a474b$ が202の倍数であるとき、そのような自然数は全部で何個あるか。また、それらのうち大きい方から2番目のものの $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

5桁の自然数 $a474b$ が202の倍数であるとき、そのような自然数は全部で何個あるか。また、それらのうち大きい方から2番目のものの $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$a474b$ を数として表すと、

$a474b = 10000a + 4000 + 700 + 40 + b = 10000a + 4740 + b$

$a474b$ が202の倍数であるので、$a474b = 202k$ (kは整数)とおける。

$10000a + 4740 + b = 202k$

$a$ と $b$ はそれぞれ1桁の整数であり、$a$ は1から9までの整数、$b$ は0から9までの整数である。したがって、$10000 \le a474b \le 99999$ である。

$10000 \le 202k \le 99999$

$10000/202 \le k \le 99999/202$

$49.5 \le k \le 495.04$

したがって、$k$ は50から495までの整数である。

$a474b = 10000a + 4740 + b \equiv 0 \pmod{202}$

$10000a + 4740 + b = 202k$

$10000a \equiv 10000a \pmod{202}$

$10000 = 202 \times 49 + 102$

$10000 \equiv 102 \pmod{202}$

$4740 = 202 \times 23 + 94$

$4740 \equiv 94 \pmod{202}$

したがって、$102a + 94 + b \equiv 0 \pmod{202}$

$102a + b \equiv -94 \equiv 108 \pmod{202}$

$102a + b = 202n + 108$ (nは整数)

$1 \le a \le 9, 0 \le b \le 9$ であるから、$102 \le 102a \le 918$

$102 \le 102a + b \le 927$

$102 \le 202n + 108 \le 927$

$-6 \le 202n \le 819$

$-6/202 \le n \le 819/202$

$-0.03 \le n \le 4.05$

したがって、$n = 0, 1, 2, 3, 4$

$n = 0$ のとき、$102a + b = 108$

$a=1$ ならば、$b = 108 - 102 = 6$。よって、$a474b = 14746$

$n = 1$ のとき、$102a + b = 202 + 108 = 310$

$a=3$ ならば、$b = 310 - 306 = 4$。よって、$a474b = 34744$

$n = 2$ のとき、$102a + b = 404 + 108 = 512$

$a=5$ ならば、$b = 512 - 510 = 2$。よって、$a474b = 54742$

$n = 3$ のとき、$102a + b = 606 + 108 = 714$

$a=7$ ならば、$b = 714 - 714 = 0$。よって、$a474b = 74740$

$n = 4$ のとき、$102a + b = 808 + 108 = 916$

$a=9$ ならば、$b = 916 - 918 = -2$。これは不適

したがって、202の倍数である5桁の自然数は4個である。

これらのうち大きい方から2番目のものは74740である。

したがって、$a = 7, b = 0$

3. 最終的な答え

全部で4個あり、$a=7, b=0$