平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを2:1に内分する点をE、対角線ACとBDの交点をO、AEとBDの交点をPとする。 (1) AP:PEを求めよ。 (2) △APOと△DPEの面積比を求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを2:1に内分する点をE、対角線ACとBDの交点をO、AEとBDの交点をPとする。

(1) AP:PEを求めよ。

(2) △APOと△DPEの面積比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) AP:PEを求める。

まず、$\vec{AP} = s\vec{AE}$, $\vec{BP} = t\vec{BD}$とおく。

$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$とする。

$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{d} + \frac{1}{3}\vec{DC} = \vec{d} + \frac{1}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{b} + \vec{d}$

$\vec{AP} = s\vec{AE} = s(\frac{1}{3}\vec{b} + \vec{d}) = \frac{s}{3}\vec{b} + s\vec{d}$

一方、

$\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP} = \vec{b} + t\vec{BD} = \vec{b} + t(\vec{AD} - \vec{AB}) = \vec{b} + t(\vec{d} - \vec{b}) = (1-t)\vec{b} + t\vec{d}$

$\vec{b}, \vec{d}$は一次独立なので、

$\frac{s}{3} = 1-t$, $s=t$

$\frac{s}{3} = 1-s$

$s = 3 - 3s$

$4s = 3$

$s = \frac{3}{4}$

$\vec{AP} = \frac{3}{4}\vec{AE}$なので、

$AP:PE = 3:1$

(2) △APOと△DPEの面積比を求める。

平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、BO:OD = 1:1

(1)より、BP:PD = $\left| t \right|:\left|1-t \right| = \frac{3}{4} : \frac{1}{4} = 3 : 1$ なので、BP:PO:OD = $\frac{3}{2} : \frac{1}{2} : 1 = 3 : 1 : 2$

また、AP:PE = 3:1

△APOの面積をS1, △DPEの面積をS2とする。

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2}AP \cdot PO \cdot \sin{\angle APE}}{\frac{1}{2}DP \cdot PE \cdot \sin{\angle DPE}}$

$\angle APE = \angle DPE$なので、$\sin{\angle APE} = \sin{\angle DPE}$

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{AP \cdot PO}{DP \cdot PE} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{AP}{PE} \cdot \frac{PO}{PD} = \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) AP:PE = 3:1

(2) △APO:△DPE = 3:2