2点 $A(-2, 2, 0)$ と $B(1, 4, 3)$ を通る直線のベクトル方程式を求める。

1. 問題の内容

2点 $A(-2, 2, 0)$ と $B(1, 4, 3)$ を通る直線のベクトル方程式を求める。

2. 解き方の手順

直線上の任意の点を $P(\vec{p})$ とし、位置ベクトルを $\vec{a}$、$\vec{b}$ とすると、直線の方程式は次のように表される。

$\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

ここで、$t$ は実数である。あるいは、

$\vec{p} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$

と表すこともできる。この問題では $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ である。

したがって、$\vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 - (-2) \\ 4 - 2 \\ 3 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ となる。

したがって、直線のベクトル方程式は以下のようになる。

$\vec{p} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$