$t$ を $0$ でない実数の定数とする。2つの2次方程式 $x^2 - 3tx - 6t = 0$ と $tx^2 - x + 2t = 0$ が共通の実数解をもつとき、共通の実数解 $x$ と $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$t$ を $0$ でない実数の定数とする。2つの2次方程式 $x^2 - 3tx - 6t = 0$ と $tx^2 - x + 2t = 0$ が共通の実数解をもつとき、共通の実数解 $x$ と $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

共通解を $\alpha$ とすると、以下の2つの式が成り立つ。

$\alpha^2 - 3t\alpha - 6t = 0$ (1)

$t\alpha^2 - \alpha + 2t = 0$ (2)

(1) - (2)×t を計算すると、

$\alpha^2 - 3t\alpha - 6t - t(t\alpha^2 - \alpha + 2t) = 0$

$\alpha^2 - 3t\alpha - 6t - t^2\alpha^2 + t\alpha - 2t^2 = 0$

$(1 - t^2)\alpha^2 + (-3t + t)\alpha - 6t - 2t^2 = 0$

$(1 - t^2)\alpha^2 - 2t\alpha - 2t(3 + t) = 0$

(1)×t - (2) を計算すると

$t(\alpha^2 - 3t\alpha - 6t) - (t\alpha^2 - \alpha + 2t) = 0$

$t\alpha^2 - 3t^2\alpha - 6t^2 - t\alpha^2 + \alpha - 2t = 0$

$(1 - 3t^2)\alpha - 6t^2 - 2t = 0$

$(1 - 3t^2)\alpha = 6t^2 + 2t$

$\alpha = \frac{6t^2 + 2t}{1 - 3t^2}$

これを(2)に代入すると、

$t (\frac{6t^2 + 2t}{1 - 3t^2})^2 - (\frac{6t^2 + 2t}{1 - 3t^2}) + 2t = 0$

$t (\frac{(6t^2 + 2t)^2}{(1 - 3t^2)^2}) - (\frac{6t^2 + 2t}{1 - 3t^2}) + 2t = 0$

両辺に $(1-3t^2)^2$をかける

$t(6t^2+2t)^2 - (6t^2+2t)(1-3t^2) + 2t(1-3t^2)^2 = 0$

$t(36t^4+24t^3+4t^2) - (6t^2+2t-18t^4-6t^3) + 2t(1-6t^2+9t^4) = 0$

$36t^5+24t^4+4t^3 - 6t^2-2t+18t^5+6t^4 + 2t-12t^3+18t^5= 0$

$72t^5 + 30t^4 - 8t^3 - 6t^2 = 0$

$2t^2(36t^3 + 15t^2 - 4t - 3) = 0$

$t \neq 0$ なので $36t^3 + 15t^2 - 4t - 3 = 0$

$t = 1/3$ が解である。

$(3t-1)(12t^2+9t+3)=0$

$3(3t-1)(4t^2+3t+1)=0$

$4t^2+3t+1 = 0$ の判別式は $3^2 - 4\times4\times1 = 9 - 16 = -7 < 0$ なので実数解を持たない。

よって $t = \frac{1}{3}$

$\alpha = \frac{6t^2 + 2t}{1 - 3t^2} = \frac{6(1/9) + 2(1/3)}{1 - 3(1/9)} = \frac{2/3 + 2/3}{1 - 1/3} = \frac{4/3}{2/3} = 2$

3. 最終的な答え

共通の実数解は $x=2$ であり、$t=\frac{1}{3}$ である。