与えられた整式の組について、最大公約数と最小公倍数を求める問題です。具体的には、(1) $4ab^3, 2a^2bc, 6a^3b^2c^2$, (2) $x(x-1), (x-1)^2$, (3) $x^2 + x - 2, x^4 + 2x^2 - 3$, (4) $x^2 + 2x, x^2 + x - 2, x^2 + 4x + 4$のそれぞれについて最大公約数と最小公倍数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた整式の組について、最大公約数と最小公倍数を求める問題です。具体的には、(1) $4ab^3, 2a^2bc, 6a^3b^2c^2$, (2) $x(x-1), (x-1)^2$, (3) $x^2 + x - 2, x^4 + 2x^2 - 3$, (4) $x^2 + 2x, x^2 + x - 2, x^2 + 4x + 4$のそれぞれについて最大公約数と最小公倍数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $4ab^3, 2a^2bc, 6a^3b^2c^2$の場合：

* 最大公約数：各項の係数の最大公約数と、各変数の指数の最小値をとります。

* 係数の最大公約数：4, 2, 6の最大公約数は2です。

* aの指数の最小値：1, 2, 3の最小値は1です。

* bの指数の最小値：3, 1, 2の最小値は1です。

* cの指数の最小値：0, 1, 2の最小値は0です。

したがって、最大公約数は$2ab$です。

* 最小公倍数：各項の係数の最小公倍数と、各変数の指数の最大値をとります。

* 係数の最小公倍数：4, 2, 6の最小公倍数は12です。

* aの指数の最大値：1, 2, 3の最大値は3です。

* bの指数の最大値：3, 1, 2の最大値は3です。

* cの指数の最大値：0, 1, 2の最大値は2です。

したがって、最小公倍数は$12a^3b^3c^2$です。

(2) $x(x-1), (x-1)^2$の場合：

* 最大公約数：共通因数の指数の最小値をとります。

* 共通因数$(x-1)$の指数の最小値は1です。

したがって、最大公約数は$x-1$です。

* 最小公倍数：各因数の指数の最大値をとります。

* $x$の指数は1です。

* $(x-1)$の指数の最大値は2です。

したがって、最小公倍数は$x(x-1)^2$です。

(3) $x^2 + x - 2, x^4 + 2x^2 - 3$の場合：

* $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

* $x^4 + 2x^2 - 3 = (x^2+3)(x^2-1)=(x^2+3)(x+1)(x-1)$

* 最大公約数：共通因数の指数の最小値をとります。

* 共通因数$(x-1)$の指数の最小値は1です。

したがって、最大公約数は$(x-1)$です。

* 最小公倍数：各因数の指数の最大値をとります。

* $(x-1)$の指数の最大値は1です。

* $(x+1)$の指数の最大値は1です。

* $(x+2)$の指数の最大値は1です。

* $(x^2+3)$の指数の最大値は1です。

したがって、最小公倍数は$(x-1)(x+1)(x+2)(x^2+3)$。　展開すると、$(x+2)(x^4+2x^2-3) = x^5 + 2x^3 -3x+2x^4+4x^2-6= x^5+2x^4+2x^3+4x^2-3x-6$です。

(4) $x^2 + 2x, x^2 + x - 2, x^2 + 4x + 4$の場合：

* $x^2+2x = x(x+2)$

* $x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

* $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

* 最大公約数：共通因数の指数の最小値をとります。

* 共通因数$(x+2)$の指数の最小値は1です。

したがって、最大公約数は$(x+2)$です。

* 最小公倍数：各因数の指数の最大値をとります。

* $x$の指数の最大値は1です。

* $(x-1)$の指数の最大値は1です。

* $(x+2)$の指数の最大値は2です。

したがって、最小公倍数は$x(x-1)(x+2)^2$です。　展開すると、$x(x-1)(x^2+4x+4) = x(x^3+4x^2+4x-x^2-4x-4) = x(x^3+3x^2-4) = x^4+3x^3-4x$

3. 最終的な答え

(1) 最大公約数：$2ab$, 最小公倍数：$12a^3b^3c^2$

(2) 最大公約数：$x-1$, 最小公倍数：$x(x-1)^2$

(3) 最大公約数：$x-1$, 最小公倍数：$(x-1)(x+1)(x+2)(x^2+3)= x^5+2x^4+2x^3+4x^2-3x-6$

(4) 最大公約数：$x+2$, 最小公倍数：$x(x-1)(x+2)^2 = x^4+3x^3-4x$