与えられた複数の数式を展開する問題です。具体的には、以下の問題が含まれています。 * 単項式と多項式の積の展開 * 多項式の二乗の展開 * 多項式の三乗の展開 * 和と差の積の展開

1. 問題の内容

与えられた複数の数式を展開する問題です。具体的には、以下の問題が含まれています。

* 単項式と多項式の積の展開

* 多項式の二乗の展開

* 多項式の三乗の展開

* 和と差の積の展開

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で展開します。

(1) (3x - 5y)(5y + 3x)

$3x - 5y$ と $5y + 3x$ をそれぞれ分配法則を用いて展開します。

$(3x)(5y) + (3x)(3x) + (-5y)(5y) + (-5y)(3x) = 15xy + 9x^2 - 25y^2 - 15xy = 9x^2 - 25y^2$

(2) (-2x + 3)^2

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の公式を利用します。

$(-2x + 3)^2 = (-2x)^2 + 2(-2x)(3) + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$

(3) (x + 3)(x + 4)

分配法則を用いて展開します。

$(x + 3)(x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$

(4) (x - 4y)(x - 2y)

分配法則を用いて展開します。

$(x - 4y)(x - 2y) = x^2 - 2xy - 4xy + 8y^2 = x^2 - 6xy + 8y^2$

(5) (2x + 3a)(x - 4a)

分配法則を用いて展開します。

$(2x + 3a)(x - 4a) = 2x^2 - 8ax + 3ax - 12a^2 = 2x^2 - 5ax - 12a^2$

(6) (x + y - 3z)(x - y + 3z)

$(x + (y - 3z))(x - (y - 3z))$ のように考えると、$A = y - 3z$ として、$(x + A)(x - A) = x^2 - A^2$ の公式が使えます。

$x^2 - (y - 3z)^2 = x^2 - (y^2 - 6yz + 9z^2) = x^2 - y^2 + 6yz - 9z^2$

(7) (a^2 - ab + 2b^2)(a^2 + ab + 2b^2)

$A = a^2 + 2b^2$ とすると、$(A - ab)(A + ab) = A^2 - (ab)^2$ の公式が使えます。

$(a^2 + 2b^2)^2 - (ab)^2 = a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4 - a^2b^2 = a^4 + 3a^2b^2 + 4b^4$

(8) (2a - 5b - 3)(2a - 5b + 2)

$A = 2a - 5b$ とすると、$(A - 3)(A + 2) = A^2 - A - 6$ となります。

$(2a - 5b)^2 - (2a - 5b) - 6 = 4a^2 - 20ab + 25b^2 - 2a + 5b - 6$

(9) (3x + 3y - z)(x + y + z)

$(3x + 3y - z)(x + y + z) = (3(x+y) - z)((x+y) + z)$

$A = x+y$とすると、$(3A - z)(A+z) = 3A^2 + 3Az - Az - z^2 = 3A^2 + 2Az - z^2$

$= 3(x+y)^2 + 2(x+y)z - z^2 = 3(x^2 + 2xy + y^2) + 2xz + 2yz - z^2 = 3x^2 + 6xy + 3y^2 + 2xz + 2yz - z^2$

(10) (a - b + c)^2

$(a - b + c)^2 = ((a - b) + c)^2 = (a - b)^2 + 2(a - b)c + c^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 2ac - 2bc + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$

(11) (2x - y - 2z)^2

$(2x - y - 2z)^2 = (2x - (y+2z))^2 = (2x)^2 - 2(2x)(y+2z) + (y+2z)^2 = 4x^2 - 4xy - 8xz + y^2 + 4yz + 4z^2 = 4x^2 + y^2 + 4z^2 - 4xy - 8xz + 4yz$

(12) (2a + b)(2a - b)^2

$(2a + b)(2a - b)^2 = (2a + b)(4a^2 - 4ab + b^2) = 8a^3 - 8a^2b + 2ab^2 + 4a^2b - 4ab^2 + b^3 = 8a^3 - 4a^2b - 2ab^2 + b^3$

(13) (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)

$(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = x^4 - 16$

(14) (a^2 - a + 1)(a^2 - a - 1)

$A = a^2 - a$ とすると、$(A + 1)(A - 1) = A^2 - 1 = (a^2 - a)^2 - 1 = a^4 - 2a^3 + a^2 - 1$

(15) (x + 3y)^3

$(x + 3y)^3 = x^3 + 3x^2(3y) + 3x(3y)^2 + (3y)^3 = x^3 + 9x^2y + 27xy^2 + 27y^3$

(16) (-3a + 2b)^3

$(-3a + 2b)^3 = (-3a)^3 + 3(-3a)^2(2b) + 3(-3a)(2b)^2 + (2b)^3 = -27a^3 + 54a^2b - 36ab^2 + 8b^3$

(17) (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)

$(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2) = (2x)^3 + y^3 = 8x^3 + y^3$

(18) (3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)

$(3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2) = (3a)^3 - (2b)^3 = 27a^3 - 8b^3$

3. 最終的な答え

(1) $9x^2 - 25y^2$

(2) $4x^2 - 12x + 9$

(3) $x^2 + 7x + 12$

(4) $x^2 - 6xy + 8y^2$

(5) $2x^2 - 5ax - 12a^2$

(6) $x^2 - y^2 + 6yz - 9z^2$

(7) $a^4 + 3a^2b^2 + 4b^4$

(8) $4a^2 - 20ab + 25b^2 - 2a + 5b - 6$

(9) $3x^2 + 6xy + 3y^2 + 2xz + 2yz - z^2$

(10) $a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$

(11) $4x^2 + y^2 + 4z^2 - 4xy - 8xz + 4yz$

(12) $8a^3 - 4a^2b - 2ab^2 + b^3$

(13) $x^4 - 16$

(14) $a^4 - 2a^3 + a^2 - 1$

(15) $x^3 + 9x^2y + 27xy^2 + 27y^3$

(16) $-27a^3 + 54a^2b - 36ab^2 + 8b^3$

(17) $8x^3 + y^3$

(18) $27a^3 - 8b^3$