ある整式を $x^2 + 1$ で割ると、商が $x^2 - 2x + 3$ で、余りが $x + 1$ である。この整式を $x^2 - x + 2$ で割ったときの商と余りを求めよ。

1. 問題の内容

ある整式を $x^2 + 1$ で割ると、商が $x^2 - 2x + 3$ で、余りが $x + 1$ である。この整式を $x^2 - x + 2$ で割ったときの商と余りを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ある整式を $P(x)$ とおく。問題文より、

$P(x) = (x^2 + 1)(x^2 - 2x + 3) + (x + 1)$

と表せる。これを展開して整理する。

$P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 + x^2 - 2x + 3 + x + 1$

$P(x) = x^4 - 2x^3 + 4x^2 - x + 4$

次に、この $P(x)$ を $x^2 - x + 2$ で割る。筆算を行うと、

$x^4 - 2x^3 + 4x^2 - x + 4 = (x^2 - x + 2)(x^2 - x + 0) + (x+4)$

すなわち、

$P(x)=(x^2-x+2)(x^2-x) + x+4$

より、商は $x^2 - x$ であり、余りは $x + 4$ である。

3. 最終的な答え

商：$x^2 - x$

余り：$x + 4$