以下の4つの式を展開せよ。 (4) $(x+y-3z)(x-y+3z)$ (5) $(a^2-ab+2b^2)(a^2+ab+2b^2)$ (6) $(2a-5b-3)(2a-5b+2)$ (7) $(3x+3y-z)(x+y+z)$

1. 問題の内容

以下の4つの式を展開せよ。

(4) $(x+y-3z)(x-y+3z)$

(5) $(a^2-ab+2b^2)(a^2+ab+2b^2)$

(6) $(2a-5b-3)(2a-5b+2)$

(7) $(3x+3y-z)(x+y+z)$

2. 解き方の手順

(4) $(x+y-3z)(x-y+3z)$

$x$について整理すると、$x+(y-3z)$と$x-(y-3z)$になるので、和と差の積の公式 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$を利用する。

$x^2 - (y-3z)^2$

$= x^2 - (y^2 - 6yz + 9z^2)$

$= x^2 - y^2 + 6yz - 9z^2$

(5) $(a^2-ab+2b^2)(a^2+ab+2b^2)$

$(a^2+2b^2)$について整理すると、$(a^2+2b^2)-ab$と$(a^2+2b^2)+ab$になるので、和と差の積の公式を利用する。

$(a^2+2b^2)^2 - (ab)^2$

$= a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4 - a^2b^2$

$= a^4 + 3a^2b^2 + 4b^4$

(6) $(2a-5b-3)(2a-5b+2)$

$2a-5b$について整理すると、$(2a-5b)-3$と$(2a-5b)+2$になる。

$2a-5b = A$と置くと、$(A-3)(A+2)$となる。

$= A^2 - A - 6$

$A$を元に戻すと、

$(2a-5b)^2 - (2a-5b) - 6$

$= 4a^2 - 20ab + 25b^2 - 2a + 5b - 6$

(7) $(3x+3y-z)(x+y+z)$

$3(x+y)-z)((x+y)+z)$

$x+y = A$とおくと、$(3A-z)(A+z)$

$= 3A^2 + 3Az - Az - z^2$

$= 3A^2 + 2Az - z^2$

$A$を元に戻すと、

$= 3(x+y)^2 + 2(x+y)z - z^2$

$= 3(x^2+2xy+y^2) + 2xz + 2yz - z^2$

$= 3x^2 + 6xy + 3y^2 + 2xz + 2yz - z^2$

3. 最終的な答え

(4) $x^2 - y^2 + 6yz - 9z^2$

(5) $a^4 + 3a^2b^2 + 4b^4$

(6) $4a^2 - 20ab + 25b^2 - 2a + 5b - 6$

(7) $3x^2 + 6xy + 3y^2 + 2xz + 2yz - z^2$