複素数 $z$ に対して、$z + \frac{3}{z}$ が実数であり、$3 \le z + \frac{3}{z} \le 4$ を満たす $z$ の動く範囲を複素数平面上に図示する問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に対して、$z + \frac{3}{z}$ が実数であり、$3 \le z + \frac{3}{z} \le 4$ を満たす $z$ の動く範囲を複素数平面上に図示する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおきます。ここで $r > 0$ です。

$z + \frac{3}{z} = r(\cos\theta + i\sin\theta) + \frac{3}{r(\cos\theta + i\sin\theta)} = r(\cos\theta + i\sin\theta) + \frac{3}{r}(\cos\theta - i\sin\theta) = (r + \frac{3}{r})\cos\theta + i(r - \frac{3}{r})\sin\theta$

$z + \frac{3}{z}$ が実数なので、$i$ の係数は 0 になります。

$(r - \frac{3}{r})\sin\theta = 0$

したがって、$r = \sqrt{3}$ または $\sin\theta = 0$ となります。

(i) $r = \sqrt{3}$ のとき

$z + \frac{3}{z} = (\sqrt{3} + \frac{3}{\sqrt{3}})\cos\theta = 2\sqrt{3}\cos\theta$

条件より、$3 \le 2\sqrt{3}\cos\theta \le 4$

$\frac{\sqrt{3}}{2} \le \cos\theta \le \frac{2\sqrt{3}}{3}$

このとき、$z = \sqrt{3}(\cos\theta + i\sin\theta)$ なので、これは原点中心、半径 $\sqrt{3}$ の円の一部分となります。

$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\theta = \pm \frac{\pi}{6}$

$\cos\theta = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ のとき、$\theta = \pm \arccos(\frac{2\sqrt{3}}{3})$

この範囲は、$z = \sqrt{3}e^{i\theta}$ で表され、$\theta$ は $\frac{\pi}{6} \le |\theta| \le \arccos(\frac{2\sqrt{3}}{3})$ を満たします。

(ii) $\sin\theta = 0$ のとき

$\theta = 0, \pi$

$z = r$ または $z = -r$ ($r$ は実数)

$z + \frac{3}{z} = r + \frac{3}{r}$ または $z + \frac{3}{z} = -r - \frac{3}{r} = -(r + \frac{3}{r})$

$3 \le r + \frac{3}{r} \le 4$ のとき

$r^2 - 3r + 3 \ge 0$ および $r^2 - 4r + 3 \le 0$ を満たす必要があります。

$r^2 - 3r + 3 = (r - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$ であるため、常に $r^2 - 3r + 3 > 0$ です。

$r^2 - 4r + 3 = (r - 1)(r - 3) \le 0$ より、$1 \le r \le 3$

したがって、$1 \le z \le 3$

$3 \le -(r + \frac{3}{r}) \le 4$ はありえません。

最終的に、$z$ は実軸上の $1 \le z \le 3$ および、原点中心、半径 $\sqrt{3}$ の円周上で、偏角 $\theta$ が $\frac{\pi}{6} \le |\theta| \le \arccos(\frac{2\sqrt{3}}{3})$ を満たす部分です。

3. 最終的な答え

複素数平面上に、実軸上の $1 \le x \le 3$ の線分と、原点中心、半径 $\sqrt{3}$ の円周のうち、偏角 $\theta$ が $\frac{\pi}{6} \le |\theta| \le \arccos(\frac{2\sqrt{3}}{3})$ を満たす部分を図示します。