(1) $\sqrt{20}-2 + |\sqrt{5}-3|$ を計算する。 (2) $\sqrt{\pi^2 - 6\pi + 9} + \sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16}$ を計算する。 (3) $\left| \frac{\sqrt{5}-2}{-3+\sqrt{5}} \right|$ を計算する。 (4) $|-2+\sqrt{3}i| - |-\sqrt{6}-i|$ を計算する。

はい、承知いたしました。4つの問題を順番に解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{20}-2 + |\sqrt{5}-3|$ を計算する。

(2) $\sqrt{\pi^2 - 6\pi + 9} + \sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16}$ を計算する。

(3) $\left| \frac{\sqrt{5}-2}{-3+\sqrt{5}} \right|$ を計算する。

(4) $|-2+\sqrt{3}i| - |-\sqrt{6}-i|$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{5} \approx 2.236$ であるから $\sqrt{5}-3 < 0$ なので、

$|\sqrt{5}-3| = 3-\sqrt{5}$

したがって、

$2\sqrt{5}-2 + 3-\sqrt{5} = \sqrt{5}+1$

(2)

$\sqrt{\pi^2 - 6\pi + 9} = \sqrt{(\pi-3)^2} = |\pi-3|$

$\sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16} = \sqrt{(\pi-4)^2} = |\pi-4|$

ここで $\pi \approx 3.14$ であるから $\pi-3 > 0$ なので $|\pi-3| = \pi-3$

また $\pi-4 < 0$ なので $|\pi-4| = 4-\pi$

よって、$\pi-3 + 4-\pi = 1$

(3)

$\left| \frac{\sqrt{5}-2}{-3+\sqrt{5}} \right| = \left| \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-3} \right| = \frac{|\sqrt{5}-2|}{|\sqrt{5}-3|}$

$|\sqrt{5}-2| = \sqrt{5}-2$

$|\sqrt{5}-3| = 3-\sqrt{5}$

$\frac{\sqrt{5}-2}{3-\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5}-2)(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{3\sqrt{5}+5-6-2\sqrt{5}}{9-5} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(4)

$|-2+\sqrt{3}i| = \sqrt{(-2)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+3} = \sqrt{7}$

$|-\sqrt{6}-i| = \sqrt{(-\sqrt{6})^2 + (-1)^2} = \sqrt{6+1} = \sqrt{7}$

したがって、$\sqrt{7} - \sqrt{7} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}+1$

(2) $1$

(3) $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(4) $0$